浙江 2021 · 数学 q07

冷启动：把这张图读成两句「必须满足」的话

题面给了 $f(x)=x^2+\dfrac14$ 与 $g(x)=\sin x$，四个选项是用它俩拼出来的四个函数，要选出图象可能是图中这条的那一个。图是唯一的证据，先把它读成两条正确选项必然满足的性质。

① 图象关于原点对称。 把图绕原点转 $180^\circ$ 能与自身重合——左半有个极小值，右半对称地有个极大值。这正是奇函数的几何特征：$y(-x)=-y(x)$。所以正确选项必须是个奇函数。

② 图象在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 附近是下降的。 横轴标了 $-\dfrac{\pi}{4}$、$O$、$\dfrac{\pi}{4}$ 三个点。曲线在 $0$ 与 $\dfrac{\pi}{4}$ 之间升到极大值，过了极大值就开始往下走——所以在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 这一处，曲线是下降的，即该处导数 $y'<0$。

这两条都是必要条件：正确的函数一定通得过，通不过的直接出局。下面的全部工作，就是拿这两条筛子去刷四个选项——这就是排除法。

解法一：奇偶性刷 A、B，导数单调性刷 C

怎么想到的。 四个选项都是 $f$ 与 $g$ 的加减乘除，逐个画图象不现实。但冷启动已经读出两条便宜的必要条件：奇偶性只需看 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，一步代数；单调性只需在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 求一次导数判号。先用最省的那条筛子刷一轮，刷不动的再换第二条——这是排除法的标准节奏。

第一步：奇偶性筛子，刷掉 A、B。 先给两个原料建档：$f(x)=x^2+\dfrac14$ 满足 $f(-x)=f(x)$，是偶函数；$g(x)=\sin x$ 满足 $g(-x)=-g(x)$，是奇函数。逐个验四个选项：

• A： $y=f(x)+g(x)-\dfrac14=x^2+\sin x$。代入 $-x$ 得 $y(-x)=x^2-\sin x$，它既不等于 $y(x)$、也不等于 $-y(x)$——非奇非偶，与「图象关于原点对称」不符，排除 A。
• B： $y=f(x)-g(x)-\dfrac14=x^2-\sin x$。同理 $y(-x)=x^2+\sin x$，也非奇非偶，排除 B。
• C： $y=f(x)g(x)=\left(x^2+\dfrac14\right)\sin x$。偶函数乘奇函数是奇函数：$y(-x)=\left(x^2+\dfrac14\right)(-\sin x)=-y(x)$，通过奇偶性这一关。
• D： $y=\dfrac{g(x)}{f(x)}=\dfrac{\sin x}{x^2+\dfrac14}$。奇函数除以偶函数仍是奇函数：$y(-x)=\dfrac{-\sin x}{x^2+\dfrac14}=-y(x)$，也通过。

第二步：奇偶性刷不动 C、D——这正是本题的关口。 C 和 D 都是奇函数，第一条筛子对它们都放行。如果就此住手、在 C、D 里随手选一个，就是把必要条件当成了充要条件：「是奇函数」只是正确选项必须满足的条件，不是「满足它就一定是它」——C 同样满足，它俩还没被分开。必须换第二条筛子。

第三步：单调性筛子，刷掉 C。 由冷启动 ②，正确选项在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 处应当下降（$y'<0$）。对 C 求导：

$$y=\left(x^2+\frac14\right)\sin x \quad\Longrightarrow\quad y'=2x\sin x+\left(x^2+\frac14\right)\cos x$$

代入 $x=\dfrac{\pi}{4}$（此时 $\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$）：

$$y'\Big|_{x=\frac{\pi}{4}} =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\left(\frac{\pi^2}{16}+\frac14\right)\cdot\frac{\sqrt2}{2}>0$$

两项都是正数，和必然为正。C 在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 处是上升的，与图象「过了极大值在下降」矛盾，排除 C。

第四步：收口。 A、B、C 全被刷掉，选择题有且只有一个正确选项，故选 D。

顺手把 D 代回验一遍（排除法只证明「只剩它」，代回是把加速手段补成完整论证）：

$$y=\frac{\sin x}{x^2+\frac14} \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{\cos x\left(x^2+\frac14\right)-2x\sin x}{\left(x^2+\frac14\right)^2}$$

代入 $x=\dfrac{\pi}{4}$，分子为 $\dfrac{\sqrt2}{2}\left(\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac14-\dfrac{\pi}{2}\right)$。括号里 $\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac14\approx0.87<\dfrac{\pi}{2}\approx1.57$，故分子为负、$y'<0$——D 在该处确实下降，与图象相符。

🕳️ 避坑

• 奇偶性相符只是必要条件，不是充分条件。 C 和 D 都是奇函数，第一条筛子对两者都放行。若把「图象关于原点对称」读成「就是奇函数 D」，会在 C、D 之间随手选错——必须再找一条必要条件（这里是 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 处的单调性）才能把两者分开。这正是「必要条件当成充要条件」在选择题里的样子。
• 判 C 的单调性要代具体的点，不能只看形式。 $y'=2x\sin x+\left(x^2+\frac14\right)\cos x$ 里有正有负项，不能凭「看着像增」下结论。代 $x=\frac{\pi}{4}$ 后两项都为正、和为正，才坐实「上升」；这个点正是图上读出来的极大值右侧，选它是因为图在这里给出了明确方向。
• A、B 的「非奇非偶」要两面都验。 只验 $y(-x)\ne y(x)$（不是偶函数）还不够，得同时 $y(-x)\ne -y(x)$（不是奇函数）才能说「非奇非偶」。本题里 $x^2$ 这一偶项混进了奇函数 $\sin x$，对称性被破坏，两个方向都不成立。