浙江 2021 · 数学 q07

题面

7. 已知函数 $f(x) = x^{2} + \frac{1}{4}, g(x) = \sin x$，则图象为如图的函数可能是（）

A. $y = f(x) + g(x) - \frac{1}{4}$

B. $y = f(x) - g(x) - \frac{1}{4}$

C. $y = f(x)g(x)$

D. $y = \frac{g(x)}{f(x)}$

答案

D

解析

分析

由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

对于A， $y = f(x) + g(x) - \frac{1}{4} = x^2 + \sin x$，该函数

为 非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A;

对于B， $y = f(x) - g(x) - \frac{1}{4} = x^2 - \sin x$，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C， $y=f(x)g(x)=\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)\sin x$ ，则 $y'=2x\sin x+\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)\cos x$ ，

当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$y' = \frac{\pi}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4}\right) \times \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$，与图象不符，排除C.

故选：D.