配成同一个函数在两点的值

解题套路

两边长得像，说明它们共用一个骨架。把骨架拆出来当函数，多出来的部分当余项：

三步：

1. 对齐骨架——找出两边逐字相同的那部分，它就是 $f$。骨架必须真的一样，凑不齐就别硬凑。
2. 定余项的符号——余项（这里是 $b$）的正负要由题设条件直接给死（这里是 $b>0$），于是 $f(a)=f(b)+b>f(b)$。
3. 验 $f$ 的单调性，再反推自变量——$f$ 严格递增，才有 $f(a)>f(b)\Rightarrow a>b$。

何时用

• 两边同时出现同一个底数的指数（或同一个对数、同一个三角式），而系数只差一点。
• 「已知 $F(a)=G(b)$，比较 $a$ 与 $b$」这类题——把 $G$ 拆成 $F$ 加一个定号的余项，是标准入口。
• 证不等式时也用：把 $u\ln v$ 与 $v\ln u$ 之类配成 $\dfrac{\ln x}{x}$ 在两点的值。

自检

• 骨架对齐了吗：$2^{b}+3b$ 拆成 $\left(2^{b}+2b\right)+b$ 是合法的；拆成 $\left(2^{b}+3b\right)+0$ 则什么也没做。

• 余项的符号是题设给的吗：若余项符号不定，配完也定不出方向。

• 配得成 $\neq$ 推得动。 这是最容易漏的一条：

  $$2^{a}-2a=2^{b}-3b\quad\Longrightarrow\quad g(a)=g(b)-b<g(b),\qquad g(x)=2^{x}-2x$$

  骨架照样对得整整齐齐，可 $g$ 先减后增（$g(1)=g(2)=0$ 就是现成的证据），从 $g(a)<g(b)$ 推不出 $a$、$b$ 谁大——这一步的正确结论是「此路不通，改去造反例」，不是硬推。配完不验单调，就掉进「没验单调就由函数值反推自变量」。