没验单调就由函数值反推自变量

单调性是一个方向的话：$a>b\Rightarrow f(a)>f(b)$。要反过来从函数值读回自变量，用的不是这一条，而是它的逆——而逆命题成立的前提是 $f$ 单射（同一个函数值不被两个点分享）。严格单调 $\Rightarrow$ 单射，所以严格单调的函数可以反推；只要单调性没验过，这一步就是空头支票。

判别式检验：动手找一对 $u\neq v$ 使 $f(u)=f(v)$。找得到，这条推理当场作废——因为「$f(a)$ 比 $f(b)$ 小」这句话在 $u$、$v$ 之间根本分不出先后。

一个典型现场

两个不同的点，同一个函数值。于是「$g(a)<g(b)$」这句话对 $a$ 与 $b$ 的左右一个字都没说：$g$ 在 $\left(0,x_{0}\right)$ 上递减、在 $\left(x_{0},+\infty\right)$ 上递增（$x_{0}$ 是 $g'(x)=2^{x}\ln 2-2$ 的零点，$1<x_{0}<2$），比 $g(b)$ 小的点在 $x_{0}$ 两侧各有一段，$a$ 落在哪一段都合法。

对照一下同族的 $f(x)=2^{x}+2x$：两项都严格递增，和也严格递增，此时 $f(a)>f(b)\Rightarrow a>b$ 一步到位。同一个题里，$+2x$ 与 $-2x$ 只差一个符号，一个能反推、一个不能——差别全在单调性上，不在式子长得像不像。

正确动作：三步

1. 先圈区间：$a$、$b$ 可能落在哪里（题设的 $a>0$、$b>0$ 之类，先写下来）。
2. 在那个区间上验单调：求导定号，或直接作差 / 拆成两个同向单调的部分之和。「两个递增的相加还是递增」是合法的；「递增的减去递增的」什么都推不出。
3. 验不出单调就别硬推——立刻改道去造反例：在极值点两侧各取一个函数值相同（或可控）的点，一个给「$a>b$」、一个给「$a<b$」，同时否掉两条互逆的结论。

与相邻易错点的分工

• 复合单调性漏看外层的增减：单调性本身算错了。这里不同——单调性可能压根不成立，错在没问就用。
• 举反例只验结论没验前提：造反例时的错。这里是造反例之前的错：以为不必造。

两者常连着犯：先默认单调、硬推出一个结论，再拿一个不满足前提的例子去「验证」它。顺序应该反过来：先验单调，验不过就直接造反例。