复合单调性漏看外层的增减

易错点

看到 $y=f(g(x))$ 在区间 $I$ 上单调，就直接去管内层 $g$ 的单调性，忘了先看外层 $f$ 是增还是减：

• 外层增（如 $y=2^{t}$、$y=\ln t$、$y=e^{t}$）：复合与内层同单调，$f$ 减 $\Rightarrow$ $g$ 减。
• 外层减（如 $y=(\tfrac{1}{2})^{t}$、$y=\log_{0.5} t$）：复合与内层反单调，$f$ 减 $\Rightarrow$ $g$ 增。

外层是减函数时若还按「同向」去列内层的条件，整道题的不等号就全反了。

附带的端点等号

由单调性列出的「对称轴 $\ge$ 区间端点」「$a \ge g(x)$ 恒成立」这类不等式，端点等号多半要保留：即便 $I$ 是开区间，参数取到边界值时函数在 $I$ 上仍单调（边界点不在 $I$ 内，不影响区间内部的单调性）。贸然去掉等号会漏掉正确答案的端点。