浙江 2023 · 数学 q04

冷启动：把「单调递减」翻译成关于 a 的不等式

$f(x)=2^{x(x-a)}$ 是个复合函数：外层 $y=2^{t}$，内层 $t=x(x-a)=x^{2}-ax$（一个开口朝上的二次曲线）。题目说 $f$ 在开区间 $(0,1)$ 上单调递减，要据此把 $a$ 的范围求出来。

「复合函数在区间上单调」不是直接能用的条件，得翻译——翻译法有两条：一条用复合单调性的口诀同增异减把单调性传给内层、再看二次曲线的对称轴；另一条直接对 $f$ 求导，把「递减」变成「导数 $\le 0$ 恒成立」。

解法一：同增异减转内层，看二次函数对称轴

怎么想到的。 外层 $y=2^{t}$ 是增函数（底 $2>1$）。按复合函数同增异减，外层增时复合函数与内层同单调——所以「$f$ 在 $(0,1)$ 减」原封不动地变成「内层 $t$ 在 $(0,1)$ 减」。问题从指数函数降格成一个二次函数的单调区间。

① 内层 $t=x^{2}-ax$ 的单调区间。 开口朝上、对称轴 $x=\dfrac{a}{2}$，于是 $t$ 在 $\left(-\infty,\ \dfrac{a}{2}\right]$ 上递减。

② 让 $(0,1)$ 整段落进这段递减区间，即 $(0,1)\subseteq\left(-\infty,\ \dfrac{a}{2}\right]$，也就是右端点别超过对称轴：

$$\frac{a}{2}\ge 1\quad\Longrightarrow\quad a\ge 2$$

🕳️ 等号要留：$a=2$ 时对称轴正好在 $1$，而区间是开的 $(0,1)$，里面每个 $x$ 都满足 $x<1=\dfrac{a}{2}$，$t$ 在其上确实严格递减——边界值 $2$ 是合法的，别因为区间开就把它去掉。

故 $a\in[2,+\infty)$。

解法二：求导后转成恒成立

怎么想到的。 不想分层讨论，就直接看 $f$ 的增减由谁决定——看导数的符号。$f$ 在 $(0,1)$ 递减 $\Leftrightarrow$ 在 $(0,1)$ 上 $f'(x)\le 0$。

① 求导（外层指数求导、内层用链式法则）：

$$f'(x)=2^{x^{2}-ax}\cdot\ln 2\cdot(2x-a)$$

② 看符号。 在 $(0,1)$ 上 $2^{x^{2}-ax}>0$、$\ln 2>0$ 恒成立，所以 $f'$ 的符号完全由 $2x-a$ 决定。于是

$$f'(x)\le 0\ \text{在}\ (0,1)\ \text{上}\quad\Leftrightarrow\quad 2x-a\le 0\ \text{在}\ (0,1)\ \text{上}\quad\Leftrightarrow\quad a\ge 2x\ \text{对一切}\ x\in(0,1)\ \text{成立}$$

③ 恒成立转最值。 $a$ 要压住 $(0,1)$ 上所有的 $2x$，就得压住它们的上界。$x\to 1^{-}$ 时 $2x\to 2$，故

$$a\ge 2$$

（$a=2$ 时 $2x-2<0$ 在整个 $(0,1)$ 上成立，$f$ 严格递减，等号照留。）

这两条路差在哪。 解法一靠的是「复合函数单调性可以逐层传递」这件结构事实，把指数剥掉、盯着二次曲线的对称轴看；它不需要导数，初中二次函数的功夫就够。解法二靠的是「单调 $\Leftrightarrow$ 导数不变号」这件分析事实，再把「在区间上恒成立」翻译成「压住上界」——它的好处是无脑通用：不管内层是什么怪函数，只要能求导，都能这么把单调性变成 $a\ge g(x)$ 的恒成立问题。两条路在端点 $a=2$ 上的结论完全一致，正好互相印证。

🕳️ 避坑

• 先看外层增减。本题外层 $2^{t}$ 是增的，所以内层与 $f$ 同向；要是外层换成 $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}$（减），内层就得反过来——$f$ 减反而要内层增。不看外层就直接管内层，不等号必反。
• 开区间的等号别误删。无论解法一的 $\dfrac{a}{2}\ge 1$ 还是解法二的 $a\ge 2x$ 恒成立，取等时区间内部仍然单调，端点 $2$ 属于答案。

对照选项 A. $(-\infty,-2]$、B. $[-2,0)$、C. $(0,2]$、D. $[2,+\infty)$，故选 D。