链式法则

教材原文

一般地，对于由函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 复合而成的函数 $y = f(g(x))$，它的导数与函数 $y = f(u)$，$u = g(x)$ 的导数间的关系为

$y _ {x} ^ {\prime} = y _ {u} ^ {\prime} \cdot u _ {x} ^ {\prime}.$

即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

公式

复合函数 $y=f(g(x))$ 的导数等于外层导数乘内层导数：

特例：$(\cos kx)' = -k\sin kx$，$(\sin kx)' = k\cos kx$。

用法

• 见到「函数套函数」（如 $\cos 5x$、$e^{2x}$），先分外、内两层：外层照常求导，再乘内层导数。
• 别漏乘内层系数 $k$：$(\cos 5x)'=-5\sin 5x$，不是 $-\sin 5x$。