5.2.3 简单复合函数的导数

到这一节为止，能求导的函数还只有两类：公式表里的基本初等函数，以及它们经过加、减、乘、除 拼起来的函数。$y=\ln(2x-1)$ 两类都不是——它不是 $\ln x$ 与别的什么做四则运算得到的， 而是把 $2x-1$ 塞进 $\ln$ 里得到的。这一节要补的就是这最后一种拼法的求导法则。

课本的顺序是：先分析结构、定义复合函数，再用 $\sin 2x$ 试算一次、猜出法则，最后做例题。 这里换个顺序：先把法则和”怎么拆”讲清楚（这是全部的操作要点），再回头说它为什么成立， 最后专讲与四则运算法则混用时的次序问题——那才是这一节真正的失分处。

一、复合函数：把一个函数塞进另一个函数

对于两个函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$，如果通过中间变量 $u$，$y$ 可以表示成 $x$ 的函数， 就称这个函数为 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数，记作

$y=f(g(x)).$

例如 $y=\ln(2x-1)$ 由 $y=\ln u$ 与 $u=2x-1\left(x>\frac12\right)$ 复合而成， $y=\sin 2x$ 由 $y=\sin u$ 与 $u=2x$ 复合而成。

“外层”与”内层”是这一节唯一要练的读法。 拿到一个式子，问自己一句： “最后一步做的是什么运算？“——那就是外层 $f$，剩下的整块就是内层 $u=g(x)$。

内层的定义域要跟着写。 $\ln(2x-1)$ 里 $u=2x-1$ 必须大于 $0$，即 $x>\frac12$； $\sqrt{3x+1}$ 里 $3x+1>0$。这不是形式主义——切线题里问”某点处”，得先确认那个点在定义域内。

二、法则：$y'_x=y'_u\cdot u'_x$

对于由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的 $y=f(g(x))$，

$y'_x=y'_u\cdot u'_x,$

即 $y$ 对 $x$ 的导数，等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘以 $u$ 对 $x$ 的导数。 写成函数记号就是本站登记的「链式法则」：

$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x).$

操作口诀：先对外层求导（内层原样抄下来），再乘上内层的导数。 三步：

1. 认外层、认内层，把 $u$ 写出来；
2. 求 $y'_u$（用公式表，此时把 $u$ 当自变量）；
3. 求 $u'_x$，两者相乘，最后把 $u=g(x)$ 代回去（答案里不许留 $u$）。

第 3 步的”代回去”最容易忘。$\left(\mathrm{e}^{-0.05x+1}\right)'$ 的中间结果是 $-0.05\mathrm{e}^{u}$， 交卷前必须写成 $-0.05\mathrm{e}^{-0.05x+1}$。

为什么是”乘”

课本用 $y=\sin 2x$ 验了一次，这个验证值得看懂，因为它是这条法则在本册里唯一的依据。 一方面用二倍角公式把它化成能求导的形状：

$$(\sin 2x)'=(2\sin x\cos x)' =2\left[\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)\right] =2\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=2\cos 2x.$$

另一方面 $y'_u=(\sin u)'=\cos u$，$u'_x=(2x)'=2$，两者相乘正是 $2\cos 2x$。两条路结果相同， 于是猜想 $y'_x=y'_u\cdot u'_x$，课本把它作为一般结论给出。

直观上也说得通：$u$ 变化 $1$ 单位时 $y$ 变化 $y'_u$，而 $x$ 变化 $1$ 单位时 $u$ 变化 $u'_x$， 两级变化率串起来就是相乘。

三、内层是一次式：把它记成一条速查表

高考里的”简单复合函数”绝大多数内层是 $kx+b$，这时 $u'_x=k$，法则退化成 “照常求导，再乘以 $x$ 的系数”。把这几条记熟，一大半题可以一步写完：

$$\begin{aligned} &\left[(kx+b)^{\alpha}\right]'=\alpha k(kx+b)^{\alpha-1}, &&\left(\mathrm{e}^{kx+b}\right)'=k\,\mathrm{e}^{kx+b},\\ &\left(a^{kx+b}\right)'=k\,a^{kx+b}\ln a, &&\left[\ln(kx+b)\right]'=\frac{k}{kx+b},\\ &\left[\log_a(kx+b)\right]'=\frac{k}{(kx+b)\ln a}, &&\left[\sin(kx+b)\right]'=k\cos(kx+b),\\ &\left[\cos(kx+b)\right]'=-k\sin(kx+b). && \end{aligned}$$

这些不是新公式，全是 $y'_u\cdot u'_x$ 在 $u=kx+b$ 时的样子；记住形状是为了省时间， 但考场上写错了要能退回法则重推。

注意 $k$ 可以是负数或分数：$\left(\mathrm{e}^{-2x+1}\right)'=-2\mathrm{e}^{-2x+1}$， $\left(\cos\frac{x}{3}\right)'=-\frac13\sin\frac{x}{3}$。丢掉这个 $k$ 是这一节第一大失分点。

四、和四则运算法则混用：先看最后一步是谁

真题里的函数往往既有复合又有乘除，比如 $y=(2x-3)\sin(2x+5)$、$y=\dfrac{\cos(3x-2)}{2x}$、 $y=(3x+1)^2\ln(3x)$。处理它们只有一条原则：

先看整个式子最后一步是什么运算：是乘就先用乘法法则，是除就先用除法法则， 是”塞进去”才用链式法则。拆到每个零件都是基本初等函数为止。

以 $y=(2x-3)\sin(2x+5)$ 为例：最后一步是乘法，所以

$y'=(2x-3)'\sin(2x+5)+(2x-3)\left[\sin(2x+5)\right]',$

其中第二个括号才轮到链式法则：$\left[\sin(2x+5)\right]'=2\cos(2x+5)$。合起来

$y'=2\sin(2x+5)+2(2x-3)\cos(2x+5).$

次序反了就会漏项——先对 $\sin(2x+5)$ 用链式法则、再”顺手”乘上 $(2x-3)$， 等于把乘法法则的第一项丢了。

五、复合函数的切线：三步一个不能少

与上一节完全同款，只是斜率要用链式法则算：

1. 验点在曲线上（代横坐标，看纵坐标对不对得上），顺带确认它在定义域内；
2. 算斜率 $k=y'\big|_{x=x_0}$，此时用链式法则；
3. 写点斜式再整理。

例如 $y=\sqrt[3]{3x-1}$ 在点 $\left(\frac23,1\right)$ 处：$3\times\frac23-1=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，点在曲线上； $y=(3x-1)^{\frac13}$，$y'=\frac13(3x-1)^{-\frac23}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac23}$，代入得 $k=1$。

六、易错清单

按失分频率排：

1. 忘了乘内层的导数（尤其内层是 $kx+b$ 时那个 $k$）。写完回头问一句：“内层求过导了吗？”
2. 答案里还留着 $u$。 必须代回 $x$。
3. 与乘除混用时次序搞反，漏掉乘法法则的一项。
4. 内层定义域没写。 $\ln(5x+2)$ 要 $x>-\frac25$，$\sqrt{3x+1}$ 要 $x>-\frac13$。
5. 负号丢失。 $\left(\cos u\right)'=-\sin u$ 的负号，加上内层系数为负时的第二个负号， 两个负号常常只写了一个。
6. 把 $\left(2^{2x+1}\right)'$ 写成 $2^{2x+1}\ln 2$（漏了内层的 $2$），正确的是 $2\cdot 2^{2x+1}\ln 2$。
7. 切点没验就套斜率，或求出斜率就收工、不写方程。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先做 2023 年第 4 题：复合函数的单调性求参数。它考的是”认外层、认内层”这一步本身—— 同增异减看内层的对称轴，或者干脆求导转成恒成立，两条路都走一遍；
• 再做 2024 年第 13 题：一条直线同时切两条曲线。两条曲线里至少有一条要用链式法则求导， 正好把第五节那三步在两个切点上各走一次；
• 然后是 2024 年第 18 题：中心对称的对数函数，求导后按参数分档讨论。 链式法则在这里只是第一行，真正的工作是讨论；
• 最后是 2025 年第 19 题，这一节的上限：要把 $\cos 5x$ 化成 $\cos x$ 的多项式。 它提醒的正是本节开头那件事——遇到”塞进去”的结构，要么拆开用链式法则，要么想办法把它化开， 这两条路在整册书里会反复出现。

这一节的页里住着三批题：第 83 页「练习」3 道（§5.2.2 导数的四则运算法则那一节的练习， 按页排在这里）、第 86 页「练习」3 道，以及 §5.2 全节末尾的「习题 5.2」13 道。 本份详解做其中 16 道，不收的三道各有理由，逐条写在这里：

• 第 83 页「练习」第 1 题（“重新求解 5.1 节例 2”）——题面指向另一节的一道例题， 题面引文里没有那道例题的条件，独立复核无从核起；
• 习题 5.2 第 1 题——课本的指令句”求下列函数的导数：“与 (1)(4) 两个小题号在规范化转写里丢了 （转写引擎把它们吞成了公式块，对着上方第 86 页的扫描图可见），题面引不全；
• 习题 5.2 第 12 题——“利用信息技术工具画图、比较、猜测”，是开放式的探究作业，没有唯一解答。

本站解答没有官方答案可比（人教A版学生用书不含答案），页面上那句声明说的就是这件事； 所以每道题都过了一次独立 verifier 的复核。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

全程用到的三样东西：基本初等函数的导数公式表、四则运算法则 $(u\pm v)'=u'\pm v'$、$(uv)'=u'v+uv'$、$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\ (v\neq 0)$， 以及链式法则 $y'_x=y'_u\cdot u'_x$。

练习（第 83 页）第 2 题

2. 求下列函数的导数： (1) $y=2x^{3}-3x^{2}-4;$ (2) $y=3\cos x+2^{x};$ (3) $y=e^{x}\ln x;$ (4) $y=(x^{2}+2x)\sqrt{x};$ (5) $y=\frac{\ln x}{x};$ (6) $y=\tan x.$

六小题依次用和差、和差、乘积、乘积（或先化简）、商、商。

(1) 逐项求导，常数项导数为 $0$：

$y'=2\cdot 3x^{2}-3\cdot 2x-0=6x^{2}-6x.$

(2) $(\cos x)'=-\sin x$，$(a^{x})'=a^{x}\ln a$：

$y'=-3\sin x+2^{x}\ln 2.$

(3) 定义域 $x>0$。用乘积法则：

$y'=(\mathrm{e}^{x})'\ln x+\mathrm{e}^{x}(\ln x)'=\mathrm{e}^{x}\ln x+\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=\mathrm{e}^{x}\left(\ln x+\frac{1}{x}\right).$

(4) 定义域 $x\geqslant 0$，求导时取 $x>0$。先化简再求导最省事：

$y=(x^{2}+2x)x^{\frac12}=x^{\frac52}+2x^{\frac32},$

$y'=\frac52x^{\frac32}+2\cdot\frac32x^{\frac12}=\frac52x^{\frac32}+3x^{\frac12}=\frac{5x^{2}+6x}{2\sqrt{x}}.$

用乘积法则核一遍：$(2x+2)\sqrt{x}+(x^{2}+2x)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}} =\dfrac{2x(2x+2)+x^{2}+2x}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^{2}+6x}{2\sqrt{x}}$，两条路一致。

(5) 定义域 $x>0$，分母 $x\neq 0$ 满足。用商的法则：

$y'=\frac{(\ln x)'\cdot x-\ln x\cdot x'}{x^{2}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.$

(6) $y=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$，定义域 $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbf{Z})$，此时 $\cos x\neq 0$：

$$y'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}.$$

这道题的关键动作：能化简就先化简——(4) 化成幂的和之后，乘积法则都不用了。

练习（第 83 页）第 3 题

3. 求曲线 $y=x^{2}+\frac{3}{x}$ 在点（1，4）处的切线方程.

第一步：验切点。 定义域 $x\neq 0$。把 $x=1$ 代入：$1^{2}+\dfrac{3}{1}=4$，与题给纵坐标相符， 所以 $(1,4)$ 是曲线上的点。

第二步：算斜率。 把 $\dfrac{3}{x}$ 写成 $3x^{-1}$：

$y'=2x-3x^{-2}=2x-\frac{3}{x^{2}},$

代 $x=1$：

$k=2-3=-1.$

第三步：写点斜式。

$y-4=-1\cdot(x-1) \;\Longrightarrow\; y=-x+5,$

即

$x+y-5=0.$

核一遍：切点 $(1,4)$ 代入得 $1+4-5=0$ ✓。粗核斜率：$x=1.1$ 时 $y=1.21+\dfrac{3}{1.1}\approx 3.9373$， 比 $4$ 略小，函数在 $x=1$ 附近确实在下降，与 $k=-1<0$ 相符。

练习（第 86 页）第 1 题

1. 求下列函数的导数： (1) $y=\frac{2}{\sqrt{3x+1}}$ ; (2) $y=(1-2x)^{3}$ ; (3) $y=\log_{2}(2x+1)$ ; (4) $y=\cos\frac{x}{3}$ ; (5) $y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)$ ; (6) $y=2^{2x+1}$ .

六小题的内层都是一次式，统一按”先对外层求导，再乘内层的导数”做。

(1) 定义域 $3x+1>0$，即 $x>-\dfrac13$。改写成幂：$y=2(3x+1)^{-\frac12}$，外层是 $-\frac12$ 次幂，内层 $u=3x+1$，$u'=3$：

$y'=2\cdot\left(-\frac12\right)(3x+1)^{-\frac32}\cdot 3=-3(3x+1)^{-\frac32}=-\frac{3}{(3x+1)\sqrt{3x+1}}.$

(2) 外层三次方，内层 $u=1-2x$，$u'=-2$：

$y'=3(1-2x)^{2}\cdot(-2)=-6(1-2x)^{2}.$

(3) 定义域 $2x+1>0$，即 $x>-\dfrac12$。外层 $\log_2 u$，内层 $u=2x+1$，$u'=2$：

$y'=\frac{1}{(2x+1)\ln 2}\cdot 2=\frac{2}{(2x+1)\ln 2}.$

(4) 外层 $\cos u$，内层 $u=\dfrac{x}{3}$，$u'=\dfrac13$：

$y'=-\sin\frac{x}{3}\cdot\frac13=-\frac13\sin\frac{x}{3}.$

(5) 外层 $\sin u$，内层 $u=\dfrac{3\pi}{2}-3x$，$u'=-3$：

$y'=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)\cdot(-3)=-3\cos\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right).$

也可以先用诱导公式化简再求导：$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-3x\right)=-\cos 3x$，于是 $y=-\cos 3x$，

$y'=-(-\sin 3x)\cdot 3=3\sin 3x.$

两个结果相同——由 $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\theta\right)=-\sin\theta$ 得 $-3\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-3x\right)=3\sin 3x$。

(6) 外层 $2^{u}$，内层 $u=2x+1$，$u'=2$：

$y'=2^{2x+1}\ln 2\cdot 2=2^{2x+2}\ln 2.$

（写成 $2\cdot 2^{2x+1}\ln 2$ 也对。漏掉这个内层的 $2$ 是本题最常见的错。）

练习（第 86 页）第 2 题

2. 求下列函数在给定点处的导数:

(1) $y = \mathrm{e}^{-2x + 1}$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处的导数；

(2) $y = \ln(5x + 2)$ 在 x = 1 处的导数.

先求导函数，再代点。

(1) 外层 $\mathrm{e}^{u}$，内层 $u=-2x+1$，$u'=-2$：

$y'=\mathrm{e}^{-2x+1}\cdot(-2)=-2\mathrm{e}^{-2x+1}.$

代 $x=\dfrac12$：指数为 $-2\times\dfrac12+1=0$，所以

$y'\Big|_{x=\frac12}=-2\mathrm{e}^{0}=-2.$

(2) 定义域 $5x+2>0$，即 $x>-\dfrac25$；$x=1$ 在定义域内。外层 $\ln u$，内层 $u=5x+2$，$u'=5$：

$y'=\frac{5}{5x+2}.$

代 $x=1$：

$y'\big|_{x=1}=\frac{5}{7}.$

核 (1) 一遍：$\mathrm{e}^{-2x+1}$ 是减函数（指数中 $x$ 的系数为负），导数应处处为负， 算得 $-2<0$，相符。

练习（第 86 页）第 3 题

3. 求曲线 $y=\sqrt[3]{3x-1}$ 在点 $\left(\frac{2}{3},1\right)$ 处的切线方程.

第一步：验切点。 $3\times\dfrac23-1=1$，而 $\sqrt[3]{1}=1$，与题给纵坐标相符，点在曲线上。 （三次根式对全体实数有定义，只在 $3x-1=0$ 处不可导；这里 $3x-1=1\neq 0$，可导。）

第二步：算斜率。 改写成幂：$y=(3x-1)^{\frac13}$，外层 $\frac13$ 次幂，内层 $u=3x-1$，$u'=3$：

$y'=\frac13(3x-1)^{-\frac23}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac23}=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^{2}}}.$

代 $x=\dfrac23$（此时 $3x-1=1$）：

$k=1^{-\frac23}=1.$

第三步：写点斜式。

$y-1=1\cdot\left(x-\frac23\right) \;\Longrightarrow\; y=x+\frac13,$

即

$3x-3y+1=0.$

核一遍：切点 $\left(\dfrac23,1\right)$ 代入得 $2-3+1=0$ ✓。

习题 5.2 第 2 题

2. 求下列函数的导数： (1) $y=(x+1)^{99}$ ;

(2) $y=\frac{x}{\sqrt{2x+1}}$ ;

(3) $y=(2x-3)\sin(2x+5)$ ;

(4) $y=\frac{\cos(3x-2)}{2x}$ ;

(5) $y=(3x+1)^{2}\ln(3x)$ ;

(6) $y=3^{x}e^{-3x}$ .

这六道是复合与四则运算混着的，动作只有一个：先看整个式子最后一步是什么运算。

(1) 最后一步是 $99$ 次幂，纯复合。内层 $u=x+1$，$u'=1$：

$y'=99(x+1)^{98}.$

(2) 定义域 $2x+1>0$，即 $x>-\dfrac12$。最后一步是除法，但写成幂更省事： $y=x(2x+1)^{-\frac12}$，最后一步是乘法。用乘积法则，第二个因子用链式法则：

$$y'=1\cdot(2x+1)^{-\frac12}+x\cdot\left(-\frac12\right)(2x+1)^{-\frac32}\cdot 2 =(2x+1)^{-\frac12}-x(2x+1)^{-\frac32}.$$

提出公因式 $(2x+1)^{-\frac32}$：

$y'=(2x+1)^{-\frac32}\left[(2x+1)-x\right]=\frac{x+1}{(2x+1)\sqrt{2x+1}}.$

(3) 最后一步是乘法：

$y'=(2x-3)'\sin(2x+5)+(2x-3)\left[\sin(2x+5)\right]',$

其中 $\left[\sin(2x+5)\right]'=\cos(2x+5)\cdot 2$，所以

$y'=2\sin(2x+5)+2(2x-3)\cos(2x+5).$

(4) 定义域 $x\neq 0$。最后一步是除法：

$$y'=\frac{\left[\cos(3x-2)\right]'\cdot 2x-\cos(3x-2)\cdot(2x)'}{(2x)^{2}} =\frac{-3\sin(3x-2)\cdot 2x-2\cos(3x-2)}{4x^{2}},$$

约去公因子 $2$：

$y'=-\frac{3x\sin(3x-2)+\cos(3x-2)}{2x^{2}}.$

(5) 定义域 $3x>0$，即 $x>0$。最后一步是乘法：

$y'=\left[(3x+1)^{2}\right]'\ln(3x)+(3x+1)^{2}\left[\ln(3x)\right]'.$

两个括号各用一次链式法则：$\left[(3x+1)^{2}\right]'=2(3x+1)\cdot 3=6(3x+1)$， $\left[\ln(3x)\right]'=\dfrac{3}{3x}=\dfrac{1}{x}$。所以

$y'=6(3x+1)\ln(3x)+\frac{(3x+1)^{2}}{x}.$

(6) 最后一步是乘法：

$$y'=(3^{x})'\mathrm{e}^{-3x}+3^{x}\left(\mathrm{e}^{-3x}\right)'=3^{x}\ln 3\cdot \mathrm{e}^{-3x}+3^{x}\cdot(-3)\mathrm{e}^{-3x} =3^{x}\mathrm{e}^{-3x}(\ln 3-3).$$

也可以先合并成一个指数函数核一遍：$y=\left(\dfrac{3}{\mathrm{e}^{3}}\right)^{x}$，于是 $y'=\left(\dfrac{3}{\mathrm{e}^{3}}\right)^{x}\ln\dfrac{3}{\mathrm{e}^{3}}=3^{x}\mathrm{e}^{-3x}(\ln 3-3)$，一致。

习题 5.2 第 3 题

3. 已知函数 $f(x) = 13 - 8x + \sqrt{2} x^2$，且 $f'(x_0) = 4$，求 $x_0$.

$\sqrt{2}$ 是常数，逐项求导：

$f'(x)=0-8+\sqrt{2}\cdot 2x=2\sqrt{2}\,x-8.$

由 $f'(x_0)=4$：

$2\sqrt{2}\,x_0-8=4 \;\Longrightarrow\; 2\sqrt{2}\,x_0=12 \;\Longrightarrow\; x_0=\frac{12}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$

核一遍：$f'(3\sqrt{2})=2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}-8=6\times 2-8=12-8=4$ ✓。

$f'(x)$ 是 $x$ 的一次函数（系数 $2\sqrt2\neq 0$），所以方程只有这一个解，不存在漏解。

习题 5.2 第 4 题

4. 已知函数 $y = x \ln x$.

(1) 求这个函数的导数；

(2) 求这个函数的图象在点 $(1, 0)$ 处的切线方程.

(1) 定义域 $x>0$。用乘积法则：

$y'=x'\ln x+x(\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1.$

(2) 先验切点：$x=1$ 在定义域内，$1\cdot\ln 1=0$，与题给纵坐标相符，$(1,0)$ 在曲线上。

斜率

$k=y'\big|_{x=1}=\ln 1+1=0+1=1.$

点斜式：

$y-0=1\cdot(x-1) \;\Longrightarrow\; y=x-1,$

即

$x-y-1=0.$

核一遍：切点 $(1,0)$ 代入得 $1-0-1=0$ ✓。粗核：$x=1.1$ 时 $y=1.1\ln 1.1\approx 0.1048$， 切线在该处的值是 $0.1$，两者只差约 $0.005$——切线在切点附近确实贴近曲线。

习题 5.2 第 5 题

5. 求曲线 $y=\frac{\sin x}{x}$ 在点 $M(\pi,0)$ 处的切线方程.

第一步：验切点。 定义域 $x\neq 0$，$\pi\neq 0$。代入：$\dfrac{\sin\pi}{\pi}=\dfrac{0}{\pi}=0$， 与题给纵坐标相符，$M(\pi,0)$ 在曲线上。

第二步：算斜率。 用商的法则：

$y'=\frac{(\sin x)'\cdot x-\sin x\cdot x'}{x^{2}}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}.$

代 $x=\pi$（$\cos\pi=-1$，$\sin\pi=0$）：

$k=\frac{\pi\cdot(-1)-0}{\pi^{2}}=-\frac{1}{\pi}.$

第三步：写点斜式。

$y-0=-\frac{1}{\pi}(x-\pi) \;\Longrightarrow\; y=-\frac{x}{\pi}+1,$

即

$x+\pi y-\pi=0.$

核一遍：$M(\pi,0)$ 代入得 $\pi+0-\pi=0$ ✓。$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=\pi$ 右侧取负值 （$\sin x<0$，$x>0$），确实在下降，与 $k<0$ 相符。

习题 5.2 第 6 题

6. 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x) = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x - \cos x$，求 $f(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{4}$ 处的导数.

读题的关键：$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ 是一个具体的数（导函数在某一点的值）， 不是一个含 $x$ 的表达式。所以它在求导时当常数处理。记

$A=f'\left(\frac{\pi}{4}\right),$

则 $f(x)=A\sin x-\cos x$。

求导（$A$ 是常数）：

$f'(x)=A\cos x+\sin x.$

再把 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 代进去，得到关于 $A$ 的方程（这一步是本题的全部机关）：

$A=f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=A\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}A+\frac{\sqrt2}{2}.$

移项：

$$A\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2} \;\Longrightarrow\; A\cdot\frac{2-\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2} \;\Longrightarrow\; A=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}.$$

分母有理化（分子分母同乘 $2+\sqrt2$，而 $2-\sqrt2\neq 0$）：

$A=\frac{\sqrt2\,(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=\frac{2\sqrt2+2}{4-2}=\frac{2\sqrt2+2}{2}=\sqrt2+1.$

所以

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2+1.$

回代核一遍：取 $A=\sqrt2+1$，则

$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}(\sqrt2+1)+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{2}(\sqrt2+2)=\frac{2+2\sqrt2}{2}=1+\sqrt2,$$

与 $A$ 相同，自洽。

这道题的关键动作：把 $f'(x_0)$ 当未知常数设出来，求完导再代回同一点列方程。 这是”抽象函数含自身导数值”这一类题的通法。

习题 5.2 第 7 题

7. 设函数 $f(x) = 1 - \mathrm{e}^{x}$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $P$，求该曲线在点 $P$ 处的切线方程.

第一步：先把 $P$ 求出来。 与 $x$ 轴相交即 $f(x)=0$：

$1-\mathrm{e}^{x}=0 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}=1 \;\Longrightarrow\; x=0.$

指数函数 $\mathrm{e}^{x}$ 是严格增函数，所以 $\mathrm{e}^{x}=1$ 只有 $x=0$ 这一个解， 交点唯一，$P(0,0)$。

第二步：算斜率。

$f'(x)=-\mathrm{e}^{x},\qquad k=f'(0)=-\mathrm{e}^{0}=-1.$

第三步：写点斜式。

$y-0=-1\cdot(x-0) \;\Longrightarrow\; y=-x,$

即

$x+y=0.$

核一遍：$P(0,0)$ 在切线上 ✓。$f(x)=1-\mathrm{e}^{x}$ 处处递减（导数恒为负），与 $k=-1<0$ 相符。

习题 5.2 第 8 题

8. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - 3\ln x$，求 $f(x)$ 的导数，并求出 $f'(x) > 0$ 的解集.

定义域先写出来：$\ln x$ 要求 $x>0$，所以 $f$ 的定义域是 $(0,+\infty)$。 这个前提决定了后面不等式的解集，不能省。

求导：

$f'(x)=x+2-\frac{3}{x} \qquad (x>0).$

解 $f'(x)>0$。 在 $x>0$ 上通分（分母 $x>0$，通分不改变不等号方向）：

$f'(x)=\frac{x^{2}+2x-3}{x}=\frac{(x+3)(x-1)}{x}.$

因为 $x>0$，分母为正、且 $x+3>3>0$，所以

$f'(x)>0 \iff x-1>0 \iff x>1.$

所以 $f'(x)>0$ 的解集是

$\{x \mid x>1\}=(1,+\infty).$

核一遍：取 $x=2$，$f'(2)=2+2-\dfrac32=2.5>0$ ✓；取 $x=\dfrac12$， $f'\left(\dfrac12\right)=\dfrac12+2-6=-3.5<0$ ✓。 注意 $(x+3)(x-1)>0$ 在全体实数上的解是 $x<-3$ 或 $x>1$，但 $x<-3$ 不在定义域里， 必须扔掉——这是本题唯一的坑。

习题 5.2 第 9 题

9. 氢气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体。如果最初有 $500\mathrm{g}$ 氢气，那么 $t$ 天后，氢气的剩余量为 $A(t) = 500 \times 0.834^{t}\mathrm{g}$。（1）氢气的散发速度是多少？(2）$A^{\prime}(7)$ 的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？

(1) “散发速度”就是剩余量关于时间的瞬时变化率，即 $A(t)$ 的导函数。$500$ 是常数， 按 $(a^{t})'=a^{t}\ln a$（这里 $a=0.834>0$ 且 $a\neq 1$）：

$A'(t)=500\times 0.834^{t}\ln 0.834 \quad (\mathrm{g}/\text{天}).$

因为 $0<0.834<1$，$\ln 0.834<0$，所以 $A'(t)<0$——剩余量在减少，负号正是”散发”的意思。

(2) 代 $t=7$：

$A'(7)=500\times 0.834^{7}\times\ln 0.834.$

先算 $0.834^{7}$（逐次相乘，多留几位以免误差滚大）：

$$0.834^{2}=0.695556,\quad 0.834^{3}\approx 0.580094,\quad 0.834^{4}\approx 0.483798,$$ $$0.834^{5}\approx 0.403487,\quad 0.834^{6}\approx 0.336509,\quad 0.834^{7}\approx 0.280648.$$

又 $\ln 0.834\approx -0.181524$，于是

$A'(7)\approx 500\times 0.280648\times(-0.181524)=140.324\times(-0.181524)\approx -25.47.$

精确到 $0.1$：

$A'(7)\approx -25.5 \ (\mathrm{g}/\text{天}).$

意义：第 7 天时，这种气体的剩余量正以约每天 $25.5\ \mathrm{g}$ 的速度减少。

核一遍（用差商粗估）：$A(7)\approx 500\times 0.280648=140.32\ \mathrm{g}$， $A(8)\approx 140.32\times 0.834\approx 117.03\ \mathrm{g}$，一天减少约 $23.3\ \mathrm{g}$； $A(6)\approx 168.25\ \mathrm{g}$，$A(6)-A(7)\approx 27.9\ \mathrm{g}$。 瞬时速度 $-25.5$ 落在这两个平均速度之间，量级相符。

习题 5.2 第 10 题

10. 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 $l$ （单位： $\mathrm{m}$ ）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $l(t) = 2t^2 + \frac{3}{2} t$.

(1) 求 l 关于 t 的导数，并解释它的实际意义；

(2) 当 $t=3 \, s$ 时，求运动员的滑雪速度；

(3) 当运动员的滑雪路程为 $38 \, m$ 时，求此时的滑雪速度.

由题意 $t\geqslant 0$。

(1) 逐项求导：

$l'(t)=4t+\frac32 \quad (\mathrm{m/s}).$

意义：$l'(t)$ 是路程关于时间的瞬时变化率，也就是运动员在时刻 $t$ 的瞬时速度。 $l'(t)=4t+\dfrac32$ 随 $t$ 增大而增大，说明他一直在加速；$l'(0)=1.5\ \mathrm{m/s}$ 是出发时的速度。

(2) 代 $t=3$：

$l'(3)=4\times 3+\frac32=12+1.5=13.5 \ (\mathrm{m/s}).$

(3) 这一问要先由路程反求时刻，再代进导函数。令 $l(t)=38$：

$2t^{2}+\frac32t=38 \;\Longrightarrow\; 4t^{2}+3t-76=0.$

判别式 $\Delta=3^{2}+4\times 4\times 76=9+1216=1225=35^{2}>0$，两根

$t=\frac{-3\pm 35}{8},\qquad\text{即}\qquad t=4 \quad\text{或}\quad t=-\frac{38}{8}=-4.75.$

时间非负，舍去 $t=-4.75$，取 $t=4$。代入导函数：

$l'(4)=4\times 4+\frac32=17.5 \ (\mathrm{m/s}).$

核一遍：$l(4)=2\times 16+\dfrac32\times 4=32+6=38$ ✓，确实是路程 $38\ \mathrm{m}$ 的那个时刻。

这道题的关键动作：(3) 问的是”路程为 38 m 时”，不是”$t=38$ 时”——先解方程求时刻，再求速度。

习题 5.2 第 11 题

11. 设曲线 $y = \mathrm{e}^{2ax}$ 在点(0, 1)处的切线与直线 $2x - y + 1 = 0$ 垂直，求 $a$ 的值.

第一步：验切点。 把 $x=0$ 代入 $y=\mathrm{e}^{2ax}$ 得 $\mathrm{e}^{0}=1$，与题给纵坐标相符—— 无论 $a$ 取何值，$(0,1)$ 都在曲线上。

第二步：算切线斜率。 外层 $\mathrm{e}^{u}$，内层 $u=2ax$，$u'=2a$：

$y'=2a\,\mathrm{e}^{2ax},\qquad k_1=y'\big|_{x=0}=2a\,\mathrm{e}^{0}=2a.$

第三步：用垂直条件。 直线 $2x-y+1=0$ 即 $y=2x+1$，斜率 $k_2=2$。 两条直线垂直且都有斜率时 $k_1k_2=-1$：

$2a\times 2=-1 \;\Longrightarrow\; 4a=-1 \;\Longrightarrow\; a=-\frac14.$

前提要交代：$k_2=2\neq 0$，所以与它垂直的直线不可能是竖直线，切线必有斜率， 上面的乘积条件用得。又由 $4a=-1$ 得 $a\neq 0$，与”切线斜率 $2a\neq 0$“自洽 （若 $a=0$，曲线退化成直线 $y=1$，切线水平，与斜率为 $2$ 的直线不垂直）。

核一遍：$a=-\dfrac14$ 时 $y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$，$y'=-\dfrac12\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$， $k_1=-\dfrac12$，而 $-\dfrac12\times 2=-1$ ✓。

习题 5.2 第 13 题

13. 某海湾拥有世界上最大的海潮．假设在该海湾某一固定点处，大海水深 $d$ （单位：m）与午夜后的时间 $t$ （单位：h）之间的关系为 $d(t) = 10 + 4\cos \frac{\pi}{6} t$．求下列时刻此固定点的水位变化速度（精确到 $0.01\mathrm{m / h}$）：（1）上午6：00；（2）上午10：00；（3）中午12：00；（4）下午4：00.

“水位变化速度”就是 $d(t)$ 的导数。外层 $\cos u$，内层 $u=\dfrac{\pi}{6}t$，$u'=\dfrac{\pi}{6}$：

$d'(t)=-4\sin\frac{\pi}{6}t\cdot\frac{\pi}{6}=-\frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}t \quad (\mathrm{m/h}).$

$t$ 是”午夜后的小时数”，所以四个时刻依次是 $t=6,\ 10,\ 12,\ 16$。

(1) 上午 6:00，$t=6$： $\dfrac{\pi}{6}\times 6=\pi$，$\sin\pi=0$，

$d'(6)=-\frac{2\pi}{3}\times 0=0.00 \ (\mathrm{m/h}).$

此刻水位瞬时不变——它正处在最低点（$d(6)=10-4=6\ \mathrm{m}$，落潮转涨潮）。

(2) 上午 10:00，$t=10$： $\dfrac{\pi}{6}\times 10=\dfrac{5\pi}{3}$，$\sin\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$，

$d'(10)=-\frac{2\pi}{3}\times\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt3\,\pi}{3}\approx\frac{1.732051\times 3.141593}{3}\approx 1.81 \ (\mathrm{m/h}).$

水位在上升，约每小时涨 $1.81\ \mathrm{m}$。

(3) 中午 12:00，$t=12$： $\dfrac{\pi}{6}\times 12=2\pi$，$\sin 2\pi=0$，

$d'(12)=0.00 \ (\mathrm{m/h}).$

此刻水位瞬时不变——它正处在最高点（$d(12)=10+4=14\ \mathrm{m}$，涨潮转落潮）。

(4) 下午 4:00，$t=16$： $\dfrac{\pi}{6}\times 16=\dfrac{8\pi}{3}$， 而 $\dfrac{8\pi}{3}-2\pi=\dfrac{2\pi}{3}$，故 $\sin\dfrac{8\pi}{3}=\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$，

$d'(16)=-\frac{2\pi}{3}\times\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3\,\pi}{3}\approx -1.81 \ (\mathrm{m/h}).$

水位在下降，约每小时落 $1.81\ \mathrm{m}$。

核一遍：$d(t)$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ 小时，与”一天两次涨落”的实际相符； $t=6$（最低）与 $t=12$（最高）处速度为零，中间时刻速度最大， $\left|d'\right|$ 的最大值是 $\dfrac{2\pi}{3}\approx 2.09\ \mathrm{m/h}$， 而 $1.81<2.09$，量级相符。