4.2 指数函数

这一节建立”指数函数”这个新函数，但它的出身很特别：不是先给定义再找例子，而是从两个真实问题里”长”出来的——两个问题（景区游客、碳 14 衰减）的数学结构一模一样，提炼出共同的函数 $y = a^x$。这个”从具体到一般”的过程，就是高中研究新函数的标准开场。

学完这一节，你要能：说出指数函数的定义（含底数条件 $a>0$ 且 $a \neq 1$）、分清”线性增长”与”指数增长”、把一个增长率/衰减率的问题写成 $y = ka^x$ 的形式。

一、问题 1：景区游客——做减法还是做除法？

A、B 两地景区 2001 年至 2015 年的游客人次（表 4.2-1），A 地提价、B 地免票：

• A 地：每年增加量大致相等（约为 10 万人次）——做减法（相邻两年人次相减）得到年增加量 ≈ 常数，图象近似直线（线性增长）；
• B 地：年增加量越来越大，看不出规律——换一种运算，做除法（后一年人次除以上一年人次）试试：

年增长率都约为 $1.11 - 1 = 0.11$，是一个常数！

课本的边注点破了方法：做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率。增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量——增加量为常数是线性增长（一次函数），增长率为常数是指数增长（指数函数）。

于是 B 地游客人次可以近似描述为：$x$ 年后是 2001 年的 $1.11^{x}$ 倍：

这是一个函数，其中指数 $x$ 是自变量。

二、问题 2：碳 14 衰减——同一结构的”反面”

生物死亡后，体内原有的碳 14 含量会按确定的比率（衰减率 $p$）衰减，每经过 5 730 年（这个时间叫半衰期）衰减为原来的一半。把刚死亡时碳 14 含量看成 1 个单位，死亡 $x$ 年后的含量为 $y$：

死亡 5 730 年后含量为 $(1-p)^{5730} = \frac{1}{2}$，解得

衰减率为常数 → 这种变化称为指数衰减。

注意问题 2 与问题 1 的结构完全相同：都是一个”底数的 $x$ 次方”。指数增长与指数衰减是同一个函数的两张脸，差别只在底数是否大于 1（下一节 4.2.2 的图象会把这个差别画出来）。

三、定义：y = a^x

把两个问题里的底数 $1.11$ 和 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$ 都换成字母 $a$，就得到：

一般地，函数 $y = a^x$（$a > 0$，且 $a \neq 1$）叫做指数函数，其中指数 $x$ 是自变量，定义域是 $\mathbf{R}$。

三个要点：

1. $a > 0$：保证对一切实数 $x$ 都有意义——上一节（4.1.2）刚把 $a^x$ 的指数扩到实数，这一节的定义就站在那上面；
2. $a \neq 1$：$a = 1$ 时 $y = 1$ 是常数函数，没有研究价值；
3. 指数 $x$ 是自变量：与幂函数 $y = x^a$（底数变、指数固定）方向相反——指数函数底数固定、指数变。

四、例 1：一个点定一个指数函数

指数函数只有一个参数 $a$，所以一个条件就够了。$f(3) = \pi$ 即 $a^3 = \pi$，解得 $a = \pi^{\frac{1}{3}}$，于是

所以 $f(0) = 1$，$f(1) = \pi^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\pi}$，$f(-3) = \pi^{-1} = \frac{1}{\pi}$。

任何指数函数都过 $(0, 1)$——$a^0 = 1$，这是图象里藏着的固定点（下一节画图象时会用到）。

五、例 2：指数模型怎么用

例 2 的两个小问展示指数函数模型的两类应用：

(1) 增长模型比较（问题 1 的续集）：设经过 $x$ 年，游客给 A、B 两地带来的收入分别为 $f(x)$、$g(x)$，则

计算工具给出三个关键数据：$x=0$ 时 $f(0)-g(0) = 412\ 000$（2001 年 A 比 B 多 412 000 万元）；$x \approx 10.22$ 时两函数相交（2011 年 3 月前后收入相当）；$x=14$ 时 $g(14)-f(14) \approx 347\ 303$（2015 年 B 比 A 多 347 303 万元）。指数增长迟早超过线性增长——这是指数函数最核心的直觉（“爆炸式增长”）。

(2) 衰减模型：碳 14 含量 $h(x) = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}\right)^{x}$，当 $x = 10000$ 时

生物死亡 10 000 年后，碳 14 含量衰减为原来的约 30%。

例 2 之后的模型总结值得背下来：

• 增长率模型：设原有量为 $N$，每次增长率为 $p$，经过 $x$ 次增长，$y = N(1+p)^{x}$（$x \in \mathbf{N}$）；
• 一般指数模型：$y = ka^{x}$（$k \in \mathbf{R}$ 且 $k \neq 0$；$a > 0$ 且 $a \neq 1$）——刻画指数增长或指数衰减的通用函数模型。

六、易错点

1. 底数条件写不全：指数函数要求 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，两个条件缺一不可——$a \le 0$ 时无理指数无意义，$a = 1$ 时退化成常数；
2. 指数函数与幂函数混淆：$y = 2^x$（指数函数，指数在变）vs $y = x^2$（幂函数，底数在变）——看哪个在变；
3. “增加量常数”与”增长率常数”不分：前者是线性增长（$y = kx + b$），后者才是指数增长（$y = ka^x$）；
4. 系数 $k$ 的位置：严格定义下的”指数函数”只有 $y = a^x$ 一种形态（系数为 1）；$y = 3 \cdot 2^x$ 是”指数型”函数（模型），同样常用但名称不同；
5. 半衰期换算：经过 $t$ 年剩 $Q_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{h}}$（$h$ 为半衰期）——指数里是”几个半衰期”（$\frac{t}{h}$），别把 $t$ 直接当指数。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节没有直接考过节的真题——“指数函数的概念”很少单独出题，但”增长率为常数的实际问题写成 $y = ka^x$“是高考应用题的高频骨架（人口增长、复利、病毒传播、减排等模型题）。这类题的步骤就是本节例 2 的三步：设原有量 $N$ → 找每期增长率 $p$ → 写 $y = N(1+p)^x$。把问题 1、问题 2 的建模过程走熟，模型题就只剩审题。

八、怎么读这一节

1. 亲手做一遍问题 1 的探究：对 B 地逐年人次做除法，算出年增长率都约为 1.11——“增长率为常数”就是指数增长的全部秘密；
2. 对比问题 1 与问题 2：一个增长（底数 > 1）一个衰减（底数在 0、1 之间），结构完全一样——下一节的图象会把这个统一性画出来；
3. 背定义：$y = a^x$（$a>0$，$a\neq1$），定义域 $\mathbf{R}$，以及两条底数条件的理由；
4. 重做例 1（$f(3) = \pi$ 求三个值）和例 2(2)（碳 14 一万年后剩多少）——体会”一个点定解析式”和”代值算含量”两个动作；
5. 做练习第 3 题（蓝藻 30 天变多少倍）——这就是高考模型题的迷你版。

下一节 4.2.2 指数函数的图象和性质：$y = a^x$ 长什么样、单调性、奇偶性、值域——$a>1$ 与 $0<a<1$ 的图象是对称的，本节的定义在那里变成看得见的图。

本节页面覆盖第 118–122 页，课本习题共 3 道（第 122 页「练习」3 道），逐题全做。第 122 页「阅读与思考（放射性物质的衰减）」是课外阅读材料，不属于习题，不在本详解范围。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（）.

题目问的是「有可能」，所以判据必须对 $a>1$ 与 $0<a<1$ 两支都成立——只写「上升且越来越陡」会把合法的递减支误排除。先立三条与 $a$ 无关的硬性质（每一条都直接来自定义 $y=a^x$，$a>0$ 且 $a\neq1$）：

1. 恒过 $(0,1)$：$a^0=1$ 与底数无关；
2. 图象整条在 $x$ 轴上方（值域 $(0,+\infty)$）：与 $x$ 轴无交点，只占第一、二象限；
3. $x$ 轴是水平渐近线，且在 $\mathbb{R}$ 上严格单调（$a>1$ 递增、$0<a<1$ 递减，两种都算）。

四个选项的图象（照课本上那四张图逐张读）：

• (A) 一条从左上到右下的直线，与 $x$ 轴、$y$ 轴各交一次——直线在 $x$ 轴下方也有一段，破了第 2 条（也没有渐近线）；
• (B) 开口向上的抛物线，与 $x$ 轴交于两点、顶点在 $x$ 轴下方、与 $y$ 轴交于负半轴——破了第 1、2、3 条（不单调）；
• (C) 一条递增的曲线：与 $y$ 轴交在正半轴，左端越来越平、贴着 $x$ 轴伸向左方而始终不与它相交，整条在 $x$ 轴上方——三条全中，正是 $a>1$ 的指数函数图象 ✓；
• (D) 过原点的单调递增曲线（$y=x^3$ 那种形状），在第三象限还有一段——破了第 1、2 条。

故选 (C)。

自检：三条判据里，第 2 条（与 $x$ 轴无交点、只在上半平面）一条就砍掉了 (A)(B)(D)——(A) 与 (D) 都进了 $x$ 轴下方，(B) 与 $x$ 轴相交。反过来，若某张图画的是过 $(0,1)$、下降且右端贴 $x$ 轴的曲线，它同样是合法的指数函数图象（$0<a<1$），不能因为「不是上升的」就排除。

练习 第 2 题

2. 已知函数 $y=f(x)$ ， $x \in R$ ，且 $f(0)=3$ ， $\frac{f(0.5)}{f(0)}=2$ ， $\frac{f(1)}{f(0.5)}=2,\cdots,\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n-1))}=2$ ， $n \in N^{*}$ ，求函数 $y=f(x)$ 的一个解析式.

条件说的是：自变量每增加 0.5，函数值就翻一倍（比值恒为 2）。从 $f(0) = 3$ 出发：

令 $t = 0.5n$，则 $n = 2t$，于是 $f(t) = 3 \times 2^{2t}$。所以一个解析式是：

（也可以写成 $f(x) = 3 \times 4^x$，因为 $2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$。）

自检：“每 0.5 翻倍” = “每 1 个单位乘 4”——这正是指数函数”等间隔处函数值比值恒为常数”的刻画（间隔 0.5、公比 2）。验算：$f(0) = 3$ ✓；$f(0.5) = 3 \times 2 = 6$，$\frac{f(0.5)}{f(0)} = 2$ ✓；$f(1) = 3 \times 4 = 12$，$\frac{f(1)}{f(0.5)} = 2$ ✓。题面只要求”一个解析式”，$3 \times 2^{2x}$ 与 $3 \times 4^x$ 都算对。

练习 第 3 题

3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 $6.25\%$ 的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）

每天变为前一天的 $1 + 6.25\% = 1.0625$ 倍，30 天后：

蓝藻会变为原来的约 6.16 倍。

自检：增长率模型 $y = N(1+p)^{x}$——这里 $N = 1$（原来的 1 倍）、$p = 6.25\% = 0.0625$、$x = 30$，计算工具直接求值。几个量级感受：倍增期是 $\dfrac{\ln 2}{\ln 1.0625}\approx 11.4$ 天，故 $1.0625^{12} \approx 2.07$（12 天已略超两倍）、$1.0625^{30} \approx 6.16$（一个月接近 6 倍）——“指数增长”的威力就体现在这里。

再用另一条路核一遍主答案：$1.0625=\dfrac{17}{16}$，反复平方得 $1.0625^{2}=1.128\,906\,25$、$1.0625^{4}\approx1.274\,429$、$1.0625^{8}\approx1.624\,171$、$1.0625^{16}\approx2.637\,934$，而 $30=16+8+4+2$，四个数相乘得 $\approx 6.164$；取对数一路也一样：$30\ln\dfrac{17}{16}\approx1.818\,74$，$e^{1.818\,74}\approx6.164$。两法都落在 $6.16$。