浙江 2018 · 数学 q05

冷启动：四张图差在哪

题目给

问图象可能是哪一张。四个选项是图，转写抽不出像素，下面这张表照本页上方原卷扫描图读。

差在三件事：奇还是偶、中间有没有额外零点、振幅变不变。下面两条路各吃其中几件。

解法一：判奇偶排掉一半，再代 $x=\pi/2$

怎么想到的。 解析式里同时有 $|x|$ 和 $\sin 2x$。绝对值是偶的，正弦是奇的，乘在一起的奇偶性一眼能判。判完只剩两张中心对称的图，再代一个好算的点。

① 定义域关于原点对称。 $2^{|x|}$ 处处有定义，$\sin 2x$ 处处有定义，全体实数都行。

② 算 $f(-x)$。

所以 $f$ 是奇函数，图象关于原点中心对称。A、B 关于 $y$ 轴对称，是偶函数的长相，排除。

只剩 C、D，都是奇函数。

③ 代 $x=\dfrac{\pi}{2}$。 $\sin\bigl(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\pi=0$，而 $2^{|\pi/2|}>0$，故

图象必须过 $\bigl(\pi/2,\ 0\bigr)$。C 从 $O$ 到 $\pi$ 只鼓一个包，最高点大约就在 $\pi/2$，那里不落地。排除 C。

剩下 D。选 D。

自检。 奇函数过原点：$f(0)=2^{0}\sin 0=0$，四张图都过 $O$，这一点分不开。必须再用 $\pi/2$ 处的零点。

解法二：从零点和包络把图象自己画出来

怎么想到的。 解法一吃选项的便宜。如果四张都是奇函数、只差抖几次，赋值一个点就未必够。这条路不看选项，按解析式把图的骨架画出来。

① 仍然先用奇偶性减半。 上面已经证过 $f$ 是奇函数，所以只画 $[0,+\infty)$，左边绕原点转 $180^\circ$ 白送。

② 零点。 在 $x\geqslant 0$ 上，$2^{x}>0$，故 $f(x)=0$ 当且仅当 $\sin 2x=0$，即 $2x=k\pi$、$x=\dfrac{k\pi}{2}$（$k=0,1,2,\ldots$）。在 $[0,\pi]$ 上零点是 $0$、$\dfrac{\pi}{2}$、$\pi$。

③ 各段符号。 $x\in\bigl(0,\pi/2\bigr)$ 时 $2x\in(0,\pi)$，$\sin 2x>0$，故 $f>0$；$x\in\bigl(\pi/2,\pi\bigr)$ 时 $2x\in(\pi,2\pi)$，$\sin 2x<0$，故 $f<0$。

④ 包络。 $|f(x)|=2^{|x|}|\sin 2x|$，振幅被 $2^{|x|}$ 托着往外长：同样高的正弦峰，越远离原点越高。

合起来，在 $[-\pi,\pi]$ 上：过原点，右先上后下并在 $\pi/2$ 过轴，左半边是右半边绕 $O$ 转 $180^\circ$，两边的峰比中间高。这就是 D。