由解析式选函数图象

题型说明

• 常见问法：「函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上的图象大致为（　）」，跟着四张只有轮廓、没有刻度的草图。
• 「大致」两个字是提示：出题人不要求你画准，只要求你说得出这四张图彼此差在哪，再找一条能分开它们的性质。
• 选项通常是成对设计的：两张关于原点对称、两张关于 $y$ 轴对称；或者形状相同、只有某一段的正负相反。所以一条性质往往只能刷掉一半，得准备第二条。

关键动作：按「最省力」的顺序挑性质

1. 奇偶性。$f(-x)$ 与 $f(x)$、$-f(x)$ 比一下就有结果，代价最小，而且一刀通常砍掉两个选项。
2. 特殊点的符号。挑一个最好算的点——区间端点、$\pi$、$1$、$\mathrm{e}$ 这种能让三角函数或对数取整值的地方——只判正负，不必算准。这一步专治「形状对但上下翻了」的干扰项。
3. 定义域与零点。哪些点取不到、图象在哪儿穿过 $x$ 轴，常常能一眼看出某张图多了或少了一个交点。
4. 端点或无穷远处的走向。$x\to+\infty$ 时是趋于常数、发散还是振荡，四张图往往在这里分道扬镳。
5. 单调性（要求导时才用）。前四条都刷不干净，再求导定升降——它最贵，放最后。

常见陷阱

• 只用一条性质就收手：奇偶性排掉两个之后剩下的两个常常也都是奇（或都是偶）函数，必须再来一条。
• 把「关于原点对称」和「关于 $y$ 轴对称」记反：奇函数是中心对称，偶函数是轴对称。记反了会把该留的两张刷掉、把该刷的两张留下。
• 特殊点挑得太难算：挑 $x=1$ 去算含 $\cos 1$ 的式子，等于给自己出了道计算题。挑点的标准是能一眼定符号。
• 想把曲线画准：「大致」的图不需要极值点的坐标。真去求二阶导数找拐点，时间就没了。