浙江 2014 · 数学 q07

冷启动：全题的机关只有一个——两条曲线共用同一个 $a$

$$f(x)=x^{a}\ (x\geq 0) ,\qquad g(x)=\log_{a}x .$$

$a$ 在两个式子里各出现一次：在 $f$ 里当指数，在 $g$ 里当底数。 题目没说它们是两个不同的数，那就是同一个数。

这句话听着是废话，可它正是本题唯一要考的东西。因为如果允许两个 $a$ 各取各的， 四张图每一张都画得出来——每一条曲线单看都是一个合法的函数图象。 四个选项之所以只剩一个，全靠「合起来」这一层。

于是做题的动作固定成三步：

1. 先问 $a$ 的合法范围；
2. 对每张图，分别读出幂函数那条要求 $a$ 在哪、对数那条要求 $a$ 在哪；
3. 两个范围求交，交集空的当场淘汰。

第一步很短：$\log_{a}x$ 里的 $a$ 是底数，必须 $a>0$ 且 $a\neq 1$。 $a>0$ 这一条顺带把 $f$ 也管住了——$x^{a}$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒增， 所以任何一张画着「幂函数在往下走」的图都不用再看。

解法一：a 只有两种情形，各画一张标准图再对号入座

第一步：$a$ 被劈成两支

$a>0$ 且 $a\neq 1$，所以只有 $a>1$ 与 $0<a<1$ 两种情形。没有第三种。

第二步：每一支各画一张标准图

两行都记住「幂函数递增」这一句：升降由 $a>0$ 定死，凹凸才由 $a$ 与 $1$ 的大小定。 把这两件事混成一件，是这类题最常见的丢分点。

于是同一坐标系里只可能出现两种画面：

• $a>1$：一升一升（一条下凸地升，一条缓缓地升）；
• $0<a<1$：一升一降（一条上凸地升，一条从左上陡降）。

第三步：对号入座

四张图里：一张压根没有从原点起步的曲线；一张是「下凸地升 + 陡降」；一张是「上凸地升 + 缓升」； 一张是「上凸地升 + 陡降」。只有最后一张落在上面那两种画面里，而且落的是 $0<a<1$ 那一种。

$$\boxed{\text{选 D}}$$

解法二：不画图，三条必要条件逐条刷选项

考场上更快的走法：不去想「正确的图长什么样」，只找几条正确答案必须满足的性质，拿它刷。

第一条：幂函数必过原点与 $(1,1)$

$a>0$ 时 $0^{a}=0$，所以 $x^{a}$ 的图象从原点出发；又 $1^{a}=1$，恒过 $(1,1)$。

A 里那条不往下掉的曲线是从纵轴上的 $(0,1)$ 起步的——那是指数函数的招牌（$a^{0}=1$）， 不是幂函数。$x^{a}$ 要么在原点（$a>0$），要么在 $x=0$ 处根本没定义（$a<0$）， 没有第三种可能落在 $(0,1)$ 上。

刷掉 A。

第二条：$x^{a}$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒增，凹凸不管升降

既然 $a>0$（由 $\log_{a}$ 的底数要求而来），$x^{a}$ 一定递增。所以图上那条幂函数曲线只能往上走； 它是下凸还是上凸，只告诉你 $a$ 比 $1$ 大还是小，跟它往哪走没关系。

这一条这道题里没刷掉任何选项（B、C、D 的幂函数都在往上走），但它值钱： 它把「凹凸」这条信息从「升降」里择干净了，第三条才用得上。

第三条：凹凸与升降必须指向同一侧

把前两条读出来的东西并排放：

$$\underbrace{\text{下凸}\iff a>1}_{\text{幂函数给的}}, \qquad \underbrace{\text{递增}\iff a>1}_{\text{对数给的}} .$$

于是正确的图必然是「下凸 + 递增」或者「上凸 + 递减」，绝不会一个说 $a>1$、另一个说 $0<a<1$。

• B：幂函数下凸（要 $a>1$）、对数递减（要 $0<a<1$）——打架；
• C：幂函数上凸（要 $0<a<1$）、对数递增（要 $a>1$）——打架；
• D：幂函数上凸、对数递减——两处都要 $0<a<1$，对上了。

刷掉 B、C，只剩 D。

$$\boxed{\text{选 D}}$$

四个选项各对应一种错法

B 与 C 是这道题真正的干扰项，而且它们的做法「每一步都对」——错只错在最后没把两个范围合起来。 一处一处地验，验完就走，正是出题人等的那一步。

一条看着很像抓手、其实没用的线索

四张图的对数曲线都在 $x=1$ 处穿过 $x$ 轴。

这不是巧合，也不是出题人手滑：$\log_{a}1=0$ 对任何合法的底数都成立， 所以「对数曲线过 $(1,0)$」是四张图共有的性质，区分不了任何选项。 同理，B、C、D 里的幂函数都过 $(1,1)$——也是共有的。

共有的性质不能当判据。 选项能被刷掉，靠的一定是四张图彼此不同的那几处； 本题里就三处：有没有幂函数、幂函数的凹凸、对数曲线的升降。做识图题时先花十秒钟 问一句「这四张图到底差在哪」，比盯着一张图猜它是谁快得多。

两条路怎么选

选择题走解法二，但解法一那两张标准图必须先在脑子里——解法二的第三条正是从它们来的。

一句话带走

一道题里同一个字母只有一个值。 两处含参数的信息，各自读出一个范围以后必须求交， 交集空的当场出局。本题里幂函数的凹凸说一句、对数的升降说一句， 两句必须指向同一侧——「上凸 + 递减」的那张就是答案。