幂函数

教材原文

一般地，函数 $y = x^{\alpha}$ 叫做幂函数（power function），其中 $x$ 是自变量， $\alpha$ 是常数.

对于幂函数，我们只研究 $\alpha = 1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$ 时的图象与性质.

(1) 函数 $y=x,\ y=x^{2},\ y=x^{3},\ y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图象都通过点 (1, 1);

（3）在区间 $(0, +\infty)$ 上，函数 $y = x$ ， $y = x^{2}$ ， $y = x^{3}$ ， $y = x^{\frac{1}{2}}$ 单调递增，函数 $y = x^{-1}$ 单调递减；

定义

形如 $y=x^{\alpha}$（$\alpha$ 是常数）的函数叫做幂函数。

和指数函数差在哪：谁在底、谁在指数

这是最容易混的一处，而它恰恰是判图的第一刀：

「从 $(0,1)$ 起步」的那条曲线不是幂函数——$\alpha>0$ 的幂函数在原点，$\alpha<0$ 的幂函数在 $x=0$ 处根本没有值。 这一条在识图选择题里一刀就能砍掉一个选项。

$\alpha>0$ 时：先看升降，再看凹凸

在 $[0,+\infty)$ 上（$\alpha>0$）：

• 升降只看 $\alpha$ 的正负：$\alpha>0$ 就恒增，跟 $\alpha$ 比 $1$ 大还是小无关；
• 凹凸才看 $\alpha$ 与 $1$ 的大小：
  • $\alpha>1$（如 $y=x^{2}$、$y=x^{3}$）：下凸，出了原点先贴着 $x$ 轴走、越走越陡；
  • $\alpha=1$：直线 $y=x$；
  • $0<\alpha<1$（如 $y=x^{\frac12}$）：上凸，出了原点先陡冲、再慢下来。

把这两句分开记很要紧：「越走越陡」不等于「增得快所以 $\alpha$ 大」这种含糊印象，它是一条能直接读出 $\alpha$ 与 $1$ 谁大的判据。

$\alpha<0$ 时

$y=x^{-1}$ 这一支在 $(0,+\infty)$ 上递减，向上贴着 $y$ 轴、向右贴着 $x$ 轴（课本第 97 页第 (4) 条）。 定义域不含 $0$，所以图象不过原点。

常考的用法

1. 识图：给一条曲线问它是不是 $x^{\alpha}$——先看过不过原点与 $(1,1)$，再看凹凸定 $\alpha$ 与 $1$ 的大小。
2. 比大小：$0<x<1$ 与 $x>1$ 两段上，$x^{\alpha}$ 随 $\alpha$ 变大的方向相反（以 $(1,1)$ 为分界翻转）。
3. 与同一个字母的对数、指数配着考：题目只给一个 $a$，让它同时当幂函数的指数和对数的底——见 2014 年浙江卷第 7 题。