指数函数

教材原文

一般地，函数 $y = a^x (a > 0$，且 $a \neq 1$ 叫做指数函数（exponential function），其中指数 $x$ 是自变量，定义域是R.

定义

形如 $y=a^x\ (a>0,\ a\neq 1)$ 的函数叫做指数函数，定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,+\infty)$。

要点

• 恒过 $(0,1)$：$a^0=1$ 与底数无关，所以任何指数函数的图象都穿过这一点——图象选择题里最先用的一条。
• $a>1$ 时单调递增，$0<a<1$ 时单调递减；两种情形的图象关于 $y$ 轴对称。
• 值域是 $(0,+\infty)$：图象整条在 $x$ 轴上方，$x$ 轴是它的水平渐近线。
• $y=\dfrac{1}{a^x}=\left(\dfrac1a\right)^x$ 仍是指数函数，底数换成 $\dfrac1a$，于是单调性与 $y=a^x$ 相反。
• 与对数函数 $y=\log_a x$ 互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称。