浙江 2024 · 数学 q08

题面

8. 已知函数为 $f(x)$ 的定义域为 $R$，$f(x) > f(x - 1) + f(x - 2)$，且当 $x < 3$ 时 $f(x) = x$，则下列结论中一定正确的是（）
   A. $f(10) > 100$
   B. $f(20) > 1000$
   C. $f(10) < 1000$
   D. $f(20) < 10000$

答案

B

解析

分析

代入得到 $f(1)=1, f(2)=2$ ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

因为当x<3时 $f(x)=x$ ，所以 $f(1)=1,f(2)=2$ ，

又因为 $f(x) > f(x - 1) + f(x - 2)$

则 $f(3) > f(2) + f(1) = 3, f(4) > f(3) + f(2) > 5$

$f (5) > f (4) + f (3) > 8, f (6) > f (5) + f (4) > 1 3, f (7) > f (6) + f (5) > 2 1,$

$f (8) > f (7) + f (6) > 3 4, f (9) > f (8) + f (7) > 5 5, f (1 0) > f (9) + f (8) > 8 9,$

$f (1 1) > f (1 0) + f (9) > 1 4 4, f (1 2) > f (1 1) + f (1 0) > 2 3 3, f (1 3) > f (1 2) + f (1 1) > 3 7 7$

$f (1 4) > f (1 3) + f (1 2) > 6 1 0, f (1 5) > f (1 4) + f (1 3) > 9 8 7,$

$f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000$ ，则依次下去可知 $f(20)>1000$ ，则B正确；

且无证据表明 ACD 一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 $f(1)=1, f(2)=2$ ，再利用题目所给的函数性质

$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ ，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.