浙江 2024 · 数学 q08

冷启动：题意翻译 + 「一定正确」四个字

假设你刚接触递推。把题面翻成人话：

• 「当 $x<3$ 时 $f(x)=x$」——整数点上立刻有 $f(1)=1$、$f(2)=2$。
• 「$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ 对一切实数 $x$ 成立」——每个值都严格大于它前面两个值之和。这个形状眼熟吗：$1,2,3,5,8,13,\dots$，后项 = 前两项之和，那是 Fibonacci 的长相。区别只在一个字：这里是大于，不是等于——所以 $f$ 的值只能比那串数更大。

再读题问：「下列结论中一定正确的是」。这四个字的意思是——对一切满足上面两条的函数 $f$ 都成立。于是本题的完整任务有两半：

1. 把能证的证出来（对一切 $f$ 成立）；
2. 把证不了的否掉（造一个满足条件、却让它不成立的 $f$——一个反例就够，这就是构造反例）。

解法一：递推链证 B

怎么想到的。 $f(1)=1$、$f(2)=2$ 是链子的头两环，递推式是「后项 > 前两项之和」——那就一环比一环地放缩下去，看什么时候下界越过题目给的阈值。

① 逐点放缩。 $f(3)>f(2)+f(1)=3$；$f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5$；$f(5)>5+3=8$……一路推：

（每一步用的都是「前两项的下界之和」，不等式同向可加，链不会断。）

② 读到 B。 $f(16)>1597>1000$，而 $f(17)>f(16)+f(15)>f(16)$，同理 $f(20)>f(16)$：

B 一定正确。 顺带读出 A 的尴尬：递推只给到 $f(10)>89$，离 100 还差一截——A 证不出来，它要靠解法二来判生死。

解法二：构造反例否 A、C、D

怎么想到的。 「一定正确」的反面是「存在满足条件的 $f$ 使它错」。条件把 $x<3$ 钉死了，但 $x\ge 3$ 是自由段——在那里定制函数，让它按我们的需要长慢些（否 A）或长快些（否 C、D）。

否 C、D：$f$ 可以任意大。 取

逐段验条件：$x\in[3,4)$ 时右边 $\ge 8$，远大于 $f(x-1)+f(x-2)=2x-3<5$；$x\in[4,5)$ 时 $2^{x-1}>x-2$（$x=4$ 处 $8>2$）；$x\ge 5$ 时 $2^{x}>2^{x-1}+2^{x-2}$（即 $4>3$）。条件全过，而

C、D 被否——这就是易错点「递推不等式只给单边界」指的方向：大于号的递推永远压不出上界。

否 A：$f(10)$ 可以压在 100 以下。 取 $r=1.62$（比黄金分割比 $\varphi\approx1.618$ 略大，于是 $r^{2}>r+1$，指数函数天然满足递推式）、$s=0.77$：

逐段验条件：$x=3$ 处 $0.77\cdot1.62^{3}\approx3.27>f(2)+f(1)=3$；$x\in[3,4)$ 上 $\dfrac{2x-3}{1.62^{x}}\le0.74<0.77$，故 $f(x)>2x-3$；$x\ge 4$ 各段由数值核算，$f(x)-f(x-1)-f(x-2)$ 的最小值约 $0.014>0$（在 $x=5$ 接口处取得，见教学图标题）；$x\ge 5$ 的指数关系由 $1.62^{2}>1.62+1$ 保证。条件全过，而

A 被否。（递推链说 $f(10)>89$；这个反例把 $f(10)$ 压在 $89$ 与 $100$ 之间，两边正好接上。）

四个选项三条被否、一条被证，故选 B。

这道题的两半各自是什么功夫。 解法一是放缩：用一条定死的下界链把 $f$ 顶过阈值——它管「对一切 $f$ 成立」。解法二是构造：在自由段上按需定制一个 $f$——它管「并非对一切 $f$ 成立」。选择题里两半缺一不可：只证 B 不看 A，你可能选成「看着也对」的 A；只否 A、C、D 不证 B，排除法就没有落点。

🕳️ 避坑

• 递推式是大于号，就只压得出下界：看见「$f(\cdot)<T$」型的选项（C、D），先想「$f$ 能不能任意大」，而不是去递推里找上界。
• 放缩链要推到越过阈值才算数：$f(10)>89$ 推不出「$f(10)>100$」——差的那一截要靠反例判死刑，不能含糊带过。
• 造反例时条件管的是全体实数 $x$：只验整数点不算验——$x=3.5$ 这类接口处最容易漏（本攻略两个反例都把 $[3,4)$ 段单独验了）。
• $r$ 不能小于 $\varphi$：$r^{2}>r+1$ 是指数函数满足「$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$」的充要条件，取 $r=1.5$ 的反例在 $x\ge5$ 段会当场垮掉。