浙江 2012 · 数学 q09

冷启动：四条命题，其实只有两个式子

题设是 $a>0$、$b>0$，四条命题分成两组：

（B 那一行原卷把「若」印到了式子后面——$2^{a} + 2a = 2^{b} + 3b$ 若，则 $a < b$。核过扫描件，原卷就是这么印的，读法没有歧义：它与 A 同前提、结论相反。）

A、B 共用一个前提，C、D 共用另一个；两个前提只差一个符号。 整道题的分水岭就在这个符号上。

两组的前提都能整理成同一种形状——把右边多出来的那一截移出去：

$$2^{a}+2a=\left(2^{b}+2b\right)+b, \qquad 2^{a}-2a=\left(2^{b}-2b\right)-b .$$

记 $f(x)=2^{x}+2x$、$g(x)=2^{x}-2x$，两组前提就成了

$$f(a)=f(b)+b>f(b), \qquad g(a)=g(b)-b<g(b) \qquad(b>0).$$

两组都化成了「同一个函数在两点的值谁大谁小」，可结局完全不同。 $f$ 严格递增，函数值的大小立刻翻译回自变量的大小；$g$ 先减后增，同一个函数值在谷底两侧各有一个落点，翻译不过去——而且不是「暂时想不出办法」，是真有反例。

答案是 A。

解法一：不设函数，直接反设 $a\leqslant b$——两条同向不等式一加就撞上矛盾

怎么想到的。 结论只有「$a>b$」和「$a<b$」两种，是一道比大小的题。比大小最省事的开局是反设：假定要证的反面成立，看题设那条等式还立不立得住。反设 $a\leqslant b$ 的好处是，它能同时喂给等式左边的两项。

A 真。 反设 $a\leqslant b$。指数函数 $2^{x}$ 递增，故 $2^{a}\leqslant 2^{b}$；又 $2a\leqslant 2b$。两条同向不等式相加：

$$2^{a}+2a\ \leqslant\ 2^{b}+2b .$$

而 $b>0$ 给出 $2b<3b$，于是 $2^{b}+2b<2^{b}+3b$。串起来：

$$2^{a}+2a\ \leqslant\ 2^{b}+2b\ <\ 2^{b}+3b ,$$

左端严格小于右端，与题设的等号矛盾。故 $a>b$，A 真。

B 假。 B 的结论与刚证的 $a>b$ 直接打架，但要判 B 假，还得确认它的前提真能成立——前提永远不成立的蕴含命题是空真的，谁也否不掉。取 $a=1$：左边 $=2+2=4$，于是要找 $b>0$ 使 $2^{b}+3b=4$。式子 $2^{x}+3x$ 连续且严格递增，在 $x=0$ 处等于 $1$、在 $x=1$ 处等于 $5$，故 $(0,1)$ 内恰有一个这样的 $b$（$\approx 0.77$）。这组 $(a,b)$ 前提真，而 $a=1>b$，结论 $a<b$ 假。B 假。

C、D：同一招失灵。 反设 $a\leqslant b$，这回：$2^{a}\leqslant 2^{b}$ 是「$\leqslant$」，而 $-2a\geqslant -2b$ 是「$\geqslant$」——两条不等式方向相反，加不起来。反设推不出矛盾。

但「推不出矛盾」不等于命题假，得真的造出反例来。造反例的钥匙是一个巧合：

$$2^{1}-2\times 1=0 .$$

把 $a$ 钉在 $1$，条件就化成了一个只关于 $b$ 的方程 $2^{b}-3b=0$。记 $\varphi(x)=2^{x}-3x$，它连续，且

$$\varphi(0)=1>0,\quad \varphi(1)=-1<0,\quad \varphi(3)=-1<0,\quad \varphi(4)=4>0 .$$

异号两次，由函数零点存在定理，$\varphi$ 在 $(0,1)$ 内有零点 $b_{1}$、在 $(3,4)$ 内有零点 $b_{2}$——都满足 $b>0$。于是同一个 $a=1$，左右各配得出一个 $b$：

• 取 $b=b_{2}\in(3,4)$：两边都等于 $0$，前提真；而 $a=1<3<b_{2}$，结论 $a>b$ 假 $\Rightarrow$ C 假。
• 取 $b=b_{1}\in(0,1)$：两边都等于 $0$，前提真；而 $a=1>b_{1}$，结论 $a<b$ 假 $\Rightarrow$ D 假。

两个反例都不必把 $b_{1}$、$b_{2}$ 算出来（它们是超越方程 $2^{b}=3b$ 的根，写不出闭形式），只要知道它们分别落在 $(0,1)$ 与 $(3,4)$，就够跟 $1$ 比大小了。

四条里只有 A 站得住，选 A。

解法二：两边配成同一个函数——$f$ 递增能反推，$g$ 先减后增就反推不动

怎么想到的。 等式两边长得几乎一样：$2^{a}+2a$ 与 $2^{b}+3b$，只差右边多了一个 $b$。把多出来的那一截移出去，两边就成了同一个函数在两点处的值：

$$f(x)=2^{x}+2x,\qquad 2^{b}+3b=\left(2^{b}+2b\right)+b=f(b)+b .$$

题设即 $f(a)=f(b)+b$。

A 真。 $f$ 是两个严格递增函数之和，故在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，且连续。由 $b>0$ 得

$$f(a)=f(b)+b>f(b) .$$

若 $a\leqslant b$，则由递增有 $f(a)\leqslant f(b)$，与上式矛盾。故 $a>b$，A 真。

B 假。 顺手把「前提可满足」也证掉：$f$ 连续、严格递增，$f(0)=1$，且 $f(x)\to+\infty$；对任意 $b>0$ 有 $f(b)+b>f(0)=1$，故存在唯一 $a>0$ 使 $f(a)=f(b)+b$。前提不是空谈——每个 $b>0$ 都配得出一个 $a$，而由上一段这个 $a$ 必大于 $b$，所以 B 的结论从不成立。B 假。（要一组具体的：$a=1$ 时 $f(1)=4$，而 $2^{x}+3x$ 在 $(0,1)$ 上从 $1$ 连续增到 $5$，故有唯一 $b\approx0.77$ 使 $2^{b}+3b=4$，此时 $a>b$。）

C、D：配得成，推不动。 同样地记 $g(x)=2^{x}-2x$，则 $2^{b}-3b=g(b)-b$，题设成

$$g(a)=g(b)-b<g(b)\qquad(b>0).$$

骨架配得一样整齐，可这回 $g$ 不单调：

$$g'(x)=2^{x}\ln 2-2,\qquad g'(x)=0\iff 2^{x}=\frac{2}{\ln 2} .$$

由 $0.69<\ln 2<0.70$ 得 $2.85<\dfrac{2}{\ln 2}<2.90$，于是 $2<2^{x_{0}}<4$，即驻点 $x_{0}\in(1,2)$（数值上 $x_{0}\approx1.53$）。$g'$ 在 $x_{0}$ 处由负变正，故 $g$ 在 $\left(-\infty,x_{0}\right)$ 上递减、在 $\left(x_{0},+\infty\right)$ 上递增。

「函数值更小」在一个先减后增的函数上定不出自变量的左右：比 $g(b)$ 小的点，在 $x_{0}$ 的左右两侧各有一段。而且这不是「暂时看不出」——$g(1)=2-2=0$、$g(2)=4-4=0$，同一个函数值配了两个不同的自变量，$g$ 连单射都不是，反推这一步在原理上就走不了。

落实成反例：取 $a=1$，则 $g(1)=0$，题设化为 $\varphi(b)=2^{b}-3b=0$。$\varphi$ 连续，$\varphi(0)=1>0$、$\varphi(1)=-1<0$，故 $(0,1)$ 内有零点 $b_{1}$；$\varphi(3)=-1<0$、$\varphi(4)=4>0$，故 $(3,4)$ 内有零点 $b_{2}$。取 $(a,b)=\left(1,b_{2}\right)$ 得 $a<b$（C 假），取 $(a,b)=\left(1,b_{1}\right)$ 得 $a>b$（D 假）。

选 A。

解法三：一条水平线截两条曲线——上面那条，交点更靠左

怎么想到的。 题设是「左边的式子 $=$ 右边的式子」。把两边各看成一条曲线，那个公共值就是一条水平线的高度，而 $a$ 与 $b$ 正是水平线与两条曲线的交点横坐标。于是「$a$ 与 $b$ 谁大」变成了一个纯看图的问题：同一高度上，谁的交点更靠左。

A 真、B 假：两条都递增，而且一条整个压在另一条上面。 记

$$f(x)=2^{x}+2x,\qquad \psi(x)=2^{x}+3x ,$$

题设 $2^{a}+2a=2^{b}+3b$ 就是 $f(a)=\psi(b)$。两条都严格递增，所以每条被一条水平线至多截一次；而对 $x>0$，

$$\psi(x)-f(x)=x>0 ,$$

即 $\psi$ 整条在 $f$ 上方。同一高度上，位置更高的那条要降到这个高度就得更早（更靠左）。写严格：若 $a\leqslant b$，则 $f(a)\leqslant f(b)<\psi(b)$，与 $f(a)=\psi(b)$ 矛盾，故恒有 $a>b$——A 真。

至于 B，只需水平线真能同时截到两条。取 $a=1$，高度 $t=f(1)=4$；$\psi$ 连续严格递增，$\psi(0)=1<4<5=\psi(1)$，故它在 $(0,1)$ 内被这条水平线截到一点 $b\approx0.77$。前提真而 $a=1>b$，B 假。

C、D：换成减号，两条曲线都成了「先降后升」的勾，一条水平线各截两刀。 记

$$g(x)=2^{x}-2x,\qquad \varphi(x)=2^{x}-3x ,$$

题设 $2^{a}-2a=2^{b}-3b$ 就是 $g(a)=\varphi(b)$。取水平线 $y=0$：

• 它截 $g$ 于 $x=1$ 与 $x=2$——$2-2=0$、$4-4=0$，两刀，且是精确值；
• 它截 $\varphi$ 于 $b_{1}$ 与 $b_{2}$：$\varphi$ 连续，$\varphi(0)=1>0$、$\varphi(1)=-1<0$、$\varphi(3)=-1<0$、$\varphi(4)=4>0$，由函数零点存在定理，$(0,1)$ 与 $(3,4)$ 内各有一个零点。

四个交点在数轴上的次序是

$$b_{1}<1<2<b_{2} .$$

同一条水平线上，$a$ 可以取 $1$（也可以取 $2$），$b$ 可以取 $b_{1}$ 或 $b_{2}$——光是 $a=1$ 这一列，$a>b$ 与 $a<b$ 就都出得来：$\left(a,b\right)=\left(1,b_{1}\right)$ 给 $a>b$，$\left(1,b_{2}\right)$ 给 $a<b$。两个方向都实现得了，C 与 D 同时被否。

选 A。

为什么加号那组不会出这种事？ $+2x$ 让两条曲线都严格递增，水平线各只截一刀，交点唯一、左右次序确定；$-2x$、$-3x$ 把它们压成了勾形，一刀两个交点，次序就散了。整道题的分水岭就在这里。

三条提醒

1. 单调性是一句「有方向」的话。 $a>b\Rightarrow f(a)>f(b)$ 是单调性本身；从 $f(a)>f(b)$ 读回 $a>b$ 用的是它的逆，成立的前提是 $f$ 单射。$f(x)=2^{x}+2x$ 严格递增，读得回来；$g(x)=2^{x}-2x$ 有 $g(1)=g(2)=0$，读不回来。动手之前先问一句：这个函数在 $a$、$b$ 可能落的范围上，单调吗。 顺带记住那条最好用的判据——「两个递增的相加还是递增」永远合法，「递增的减去递增的」什么也推不出。
2. 「反设推不出矛盾」不是命题假的证据。 解法一里反设 $a\leqslant b$ 对 A 成功、对 C／D 失灵——失灵只说明这条路走不通，不说明命题错。判一条蕴含命题为假只有一个办法：造一个前提真、结论假的实例，并且把前提逐字验一遍。本题两个反例的前提各是一条等式，都是当场代进去、两边都等于 $0$ 验掉的。
3. 反例不必求得出来。 $b_{1}$、$b_{2}$ 是 $2^{b}=3b$ 的根，写不出闭形式；但反例只需要它们存在，并且落在能跟 $1$ 比大小的区间里。$\varphi(0)=1$、$\varphi(1)=-1$、$\varphi(3)=-1$、$\varphi(4)=4$ 这四个整点的符号就足够了——这正是函数零点存在定理的正宗用法：不求根，只定位。 考场上若忍不住去解 $2^{b}=3b$，就掉进了一个根本不必进的坑。