导数的正负与函数的单调性

教材原文

一般地，函数 $f(x)$ 的单调性与导函数 $f'(x)$ 的正负之间具有如下的关系：

在某个区间 $(a, b)$ 内，如果 $f'(x) > 0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内单调递增；

在某个区间 $(a, b)$ 内，如果 $f'(x) < 0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内单调递减.

它把什么换成了什么

单调性的定义要验「任意两点 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$」——那是关于无穷多对点的断言，直接验无从下手。这条结论把它换成了一件逐点的事：只要 $f'$ 在这个区间上处处为正，单调递增就成立。于是画一个函数的大致图象有了固定流程：

1. 求 $f'(x)$；
2. 解 $f'(x)>0$ 与 $f'(x)<0$，把定义域切成若干段；
3. 每段上标出「升」还是「降」；
4. 把各段端点处的函数值算出来，按升降接起来，形状就出来了。

三条要当心的边界

• 方向是单向的。 这条说的是「$f'>0 \Rightarrow$ 递增」，反过来「递增 $\Rightarrow f'>0$」不成立：$f(x)=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，但 $f'(0)=0$。所以由「$f$ 在区间上递增」只能推出 $f'\ge 0$，写成 $f'>0$ 就多要了条件——含参题里这一步会把参数范围做小。
• 孤立的零点不打断单调。 $f'$ 在有限个点为 $0$、其余处为正，函数在整段上仍然递增。判单调时要看的是 $f'$ 变不变号，不是 $f'$ 等不等于零。
• 结论只在一个区间内成立，不能跨区间拼。 $f(x)=\dfrac1x$ 的导数在 $(-\infty,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上都是负的，但不能说它在整个定义域上递减——两段之间断开了。写单调区间时要用「和」不能用「并」。

怎么用它画图象

判出升降之后，再补两样东西，图象的形状就基本定死了：关键点的函数值（端点、极值点、与坐标轴的交点）与对称性（奇偶性把一半的工作免掉）。选择题里给四张图挑一张时，往往不必把整条曲线画准，只要用这条结论定出「先升后降」还是「先降后升」，再配一两个点的符号，就够把假选项刷干净。