浙江 2015 · 数学 q11

题面

11．（6分）（2015•浙江）函数${f} \left( {x} \right) = \sin^{2}{\mathrm{x}} + \sin{\mathrm{x}} \cos{\mathrm{x}} + 1$的最小正周期是，单调递减区间是

答案

π；$[\mathrm{k} \pi + \frac{3 \pi}{8} , \mathrm{k} \pi + \frac{7 \pi}{8}] ( \mathrm{k} \in Z )$

解析

分析

由三角函数公式化简可得$f ( x ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{s i n} ( 2 x - \frac{\pi}{4} ) + \frac{3}{2} ,$易得最小正周期，解不等

式$2 k \pi + \frac{\pi}{2} \leq 2 x - \frac{\pi}{4} \leq 2 \mathrm{k} \pi + \frac{3 \pi}{2}$可得函数的单调递减区间

解答

解：化简可得${\mathrm{f}} \left( x \right) = \sin^{2} x + \sin x c o s x + 1$

$= \frac{1}{2} \ ( 1 - \mathrm{c o s} 2 \mathrm{x} ) \ + \frac{1}{2} \mathrm{s i n} 2 \mathrm{x} + 1$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{3}{2},$

∴原函数的最小正周期为$\mathrm{T} = \frac{2 \pi}{2}{=} \pi ,$

由$2 k \pi + \frac{\pi}{2} \leq 2 x - \frac{\pi}{4} \leq 2 \mathrm{k} \pi + \frac{3 \pi}{2}$可得$k \pi + \frac{3 \pi}{8} \leq x \leq k \pi + \frac{7 \pi}{8} =$

∴函数的单调递减区间为$[\mathrm{k} \pi + \frac{3 \pi}{8} , \mathrm{k} \pi + \frac{7 \pi}{8}] ( \mathrm{k} \in Z )$

故答案为：π；$[\mathrm{k} \pi + \frac{3 \pi}{8} , \mathrm{k} \pi + \frac{7 \pi}{8}] ( \mathrm{k} \in Z )$