浙江 2011 · 数学 q22

冷启动：先认清这道题印成了什么样

本站收的这套解析版，第（Ⅱ）问印的区间是 $x\in(0,3a]$； 而 2011 年浙江卷（理）第 22 题的原题是 $x\in(0,3e]$。 这不是单处笔误——这套解析版的解答从头到尾按 $3a$ 推 （「当 $0<3a\leq1$ 时」「$f(3a)=4a^{2}\ln 3a$」），所以校订层照字面保留。

下面三条解法做的都是印出来的那一版（$3a$），答案也对着它； 末尾另起一段，用解法三的同一套机器把原卷那一版（$3e$）一并解出来—— 两版的差别只在一个字母，路数一模一样，正好可以对照着看。

（Ⅰ）求导，再检验

$f(x)=(x-a)^{2}\ln x$ 的定义域是 $x>0$。乘积求导：

$$f'(x)=2(x-a)\ln x+\frac{(x-a)^{2}}{x} =(x-a)\left(2\ln x+1-\frac{a}{x}\right) .$$

记 $g(x)=2\ln x+1-\dfrac{a}{x}$，则 $f'(x)=(x-a)g(x)$。令 $x=e$：

$$f'(e)=(e-a)\left(2+1-\frac{a}{e}\right)=(e-a)\left(3-\frac{a}{e}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=e\ \text{或}\ a=3e .$$

$f'(e)=0$ 只是「$e$ 是驻点」，还不是「$e$ 是极值点」，两个值都得验一遍。 先记下一件事：当 $a>0$ 时

$$g'(x)=\frac{2}{x}+\frac{a}{x^{2}}>0 ,$$

所以 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格增（这条性质下面反复要用）。

• $a=e$：$g(e)=2+1-1=2>0$，故在 $x=e$ 附近 $g>0$；而 $x-a=x-e$ 在 $e$ 处由负变正， 于是 $f'=(x-e)g$ 由负变正，$x=e$ 是极小值点。合格。
• $a=3e$：$g(e)=2+1-3=0$，而 $g$ 严格增，故 $g$ 在 $e$ 处由负变正； 又 $x-3e$ 在 $e$ 附近恒为负（$e-3e=-2e<0$），于是 $f'=(x-3e)g$ 由正变负， $x=e$ 是极大值点。也合格。

两个都保留：

$$\boxed{a=e\quad\text{或}\quad a=3e .}$$

（Ⅱ）先把三件事说在前面

1. 区间要非空：$(0,3a]$ 非空当且仅当 $a>0$。 （$a\leq0$ 时区间是空集，「对任意 $x$ 恒成立」空真——原卷解答默认了 $a>0$，本攻略随之。）
2. $(0,1]$ 那一段永远合格：$0<x\leq1$ 时 $\ln x\leq0$，而 $(x-a)^{2}\geq0$， 所以 $f(x)\leq0<4e^{2}$。于是 $0<3a\leq1$（即 $0<a\leq\frac13$）整档直接通过。
3. 剩下要管的只有 $(1,3a]$，而它非空当且仅当 $3a>1$，即 $a>\dfrac13$。 问题化为：

$$a>\frac13\ \text{时，}\quad \max_{x\in[1,3a]}f(x)\leq 4e^{2}\ ?$$

三条路的分歧就在这个 $\max$ 怎么拿到手。

解法一：求导定单调——把 $f'$ 在 $(1,3a]$ 上的符号讨论干净，最大值落在右端点

$f'(x)=(x-a)g(x)$，$g(x)=2\ln x+1-\dfrac{a}{x}$ 严格增，$g(1)=1-a$。 按 $g(1)$ 的正负切两档。

第一档：$\dfrac13<a\leq1$

此时 $g(1)=1-a\geq0$，$g$ 严格增，故 $g>0$ 在 $(1,3a]$ 上处处成立； 又 $x>1\geq a$ 给出 $x-a>0$。两个因子都正，$f'>0$，$f$ 在 $[1,3a]$ 上严格增，

$$\max_{[1,3a]}f=f(3a) .$$

第二档：$a>1$

此时 $g(1)=1-a<0$，而 $g(a)=2\ln a>0$，$g$ 严格增且连续， 所以 $g$ 在 $(1,a)$ 内有唯一零点，记作 $x_{1}$。符号表：

于是 $[1,3a]$ 上有一个内部的局部极大 $f(x_{1})$ 和一个右端点值 $f(3a)$， 两个都要比（只比极值不比端点，正是这一步最常翻车的地方）。比法很省事：

$$f(x_{1})=(x_{1}-a)^{2}\ln x_{1} \overset{1<x_{1}<a}{<}(a-1)^{2}\ln a <a^{2}\ln a<4a^{2}\ln 3a=f(3a) .$$

（三个不等号依次用到 $|x_{1}-a|<a-1$、$\ln x_{1}<\ln a$（且 $\ln a>0$）、$(a-1)^{2}<a^{2}<4a^{2}$ 与 $\ln a<\ln 3a$。） 所以这一档的最大值也是 $f(3a)$。图上那个「局部极大 $\approx0.14$」就是它—— 在 $4e^{2}\approx29.56$ 面前完全不成威胁。

合档

两档都给出 $\max_{x\in[1,3a]}f=f(3a)$。再把左边那一段接回来：$0<x\leq1$ 时 $f(x)\leq0<4a^{2}\ln 3a=f(3a)$（$a>\frac13$ 时 $\ln 3a>0$），所以并进来不改最大值，

$$a>\frac13\ \Longrightarrow\ \max_{x\in(0,3a]}f(x)=f(3a)=4a^{2}\ln 3a ,$$

条件化为

$$4a^{2}\ln 3a\leq4e^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\ln 3a\leq e^{2} .$$

解法二：一步不求导——两个因子各有上界，而且在同一个点同时取到

上面那一整页分档，其实可以完全省掉。设 $a>\dfrac13$，$x\in(1,3a]$， 把 $f(x)=(x-a)^{2}\cdot\ln x$ 看成两个非负因子的乘积，各自估一次：

• $\ln x$ 那一段：对数函数 $\ln$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格增，$1<x\leq3a$ 给出 $0<\ln x\leq\ln 3a$；
• 平方那一段：$a>0$ 时 $-a<0<1<x\leq3a$，即 $-2a<x-a\leq2a$，于是 $(x-a)^{2}\leq4a^{2}$。

两个上界都非负，相乘方向不变：

$$\boxed{f(x)=(x-a)^{2}\ln x\leq 4a^{2}\cdot\ln 3a=f(3a) .}$$

上界还必须取得到，否则它只是个上界、不是最大值。 这里取得到： 两处估计的等号都在 $x=3a$ 成立，而 $3a$ 本来就在区间里，所以

$$\max_{x\in(1,3a]}f(x)=f(3a)=4a^{2}\ln 3a ,$$

再把 $(0,1]$ 那一段接回来（那里 $f\leq0<f(3a)$），它就是 $f$ 在整个 $(0,3a]$ 上的最大值——与解法一同。 全程没有用到导数，也没有分 $a\leq1$ 与 $a>1$ 两档—— $(x-a)^{2}\leq4a^{2}$ 这一步对所有 $a>0$ 都成立，把两档一起收了。

解法三：参变分离——把 $f(x)\leq 4e^{2}$ 对每个 $x$ 解成 $a$ 的一个闭区间，再取交

前两条路先求最大值、再和 $4e^{2}$ 比。这一条反过来：先对每个固定的 $x$ 把 $a$ 解出来。

设 $a>\dfrac13$，取定 $x\in(1,3a]$（于是 $\ln x>0$）：

$$(x-a)^{2}\ln x\leq4e^{2} \iff (x-a)^{2}\leq\frac{4e^{2}}{\ln x} \iff |x-a|\leq\frac{2e}{\sqrt{\ln x}} \iff \varphi(x)\leq a\leq\psi(x) ,$$

其中

$$\varphi(x)=x-\frac{2e}{\sqrt{\ln x}},\qquad \psi(x)=x+\frac{2e}{\sqrt{\ln x}} .$$

条件就是：$a$ 落在所有 $x\in(1,3a]$ 给出的那些闭区间的交里。

左边这一半：$\varphi$ 增，最紧的约束在右端点

$x$ 增时 $x$ 增、$\dfrac{2e}{\sqrt{\ln x}}$ 减，所以 $\varphi$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格增， $\sup_{(1,3a]}\varphi=\varphi(3a)$。左半条件是 $a\geq\varphi(3a)$：

$$a\geq3a-\frac{2e}{\sqrt{\ln 3a}} \iff 2a\leq\frac{2e}{\sqrt{\ln 3a}} \iff a\sqrt{\ln 3a}\leq e \iff a^{2}\ln 3a\leq e^{2} .$$

注意这一步的形状：区间右端 $3a$ 自己就带着 $a$，所以「取最大值」拿到的不是一个常数， 而是一条 $a$ 在两边都出现的不等式，必须再整理一次才有意义。

右边这一半：$\psi$ 在 $x=e$ 取到最小值 $3e$，而且是白给的

$$\psi'(x)=1-\frac{2e}{2}\cdot\frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}=1-\frac{e}{x(\ln x)^{3/2}} .$$

$x(\ln x)^{3/2}$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格增，且在 $x=e$ 处等于 $e\cdot1=e$， 所以 $\psi'<0$ 于 $(1,e)$、$\psi'>0$ 于 $(e,+\infty)$，$\psi$ 在 $x=e$ 取最小值

$$\psi(e)=e+\frac{2e}{\sqrt{1}}=3e .$$

右半条件是 $a\leq\min_{(1,3a]}\psi$，分两档看：

• 若 $3a<e$：$\psi$ 在 $(1,3a]$ 上递减，最小值是 $\psi(3a)=3a+\dfrac{2e}{\sqrt{\ln 3a}}>3a>a$，自动成立；
• 若 $3a\geq e$：最小值是 $\psi(e)=3e$，需要 $a\leq3e\approx8.15$； 而左半条件已经把 $a$ 压到 $a\leq a_{0}\approx2.02$（见下），远小于 $3e$，也自动成立。

所以右半恒成立，条件只剩左半的 $a^{2}\ln 3a\leq e^{2}$——与前两条路一致。

答案怎么落地：$a^{2}\ln 3a\leq e^{2}$ 解不成初等闭式

记 $h(a)=a^{2}\ln 3a$（$a>0$）。求导：

$$h'(a)=2a\ln 3a+a^{2}\cdot\frac{1}{a}=a\left(2\ln 3a+1\right) .$$

$a>\dfrac13$ 时 $\ln 3a>0$，故 $h'>0$，$h$ 在 $\left(\dfrac13,+\infty\right)$ 上严格增； 又 $h\left(\dfrac13\right)=0$ 而 $a\to+\infty$ 时 $h\to+\infty$。 所以存在唯一的 $a_{0}>\dfrac13$ 使 $h(a_{0})=e^{2}$，且

$$a>\frac13\ \text{时}\quad a^{2}\ln 3a\leq e^{2}\iff a\leq a_{0} .$$

夹一次就知道它在哪：

$$h(2)=4\ln6\approx7.1670<e^{2}\approx7.3891<h(2.025)\approx7.3982 \quad\Longrightarrow\quad 2.024<a_{0}<2.025 .$$

最后把两档并起来。$0<a\leq\dfrac13$ 时 $h(a)\leq0<e^{2}$ 也成立，所以两档其实可以合写：

$$\boxed{0<a\leq a_{0}\ \ (a_{0}\approx2.0241\ \text{是 } a^{2}\ln 3a=e^{2}\ \text{的唯一正根}) .}$$

这正是官方解答那一行「$0<a\leq\dfrac13$，或 $a>\dfrac13$ 且 $a^{2}\ln 3a\leq e^{2}$」的合并写法—— 它没有再化简，是因为确实化不成初等闭式，不是漏了一步。

原卷那一版：$x\in(0,3e]$

把区间右端的 $3a$ 换成常数 $3e$，解法三的机器一个字都不用改，而且这回两半都有用：

$$a\geq\varphi(3e)=3e-\frac{2e}{\sqrt{\ln 3e}}=3e-\frac{2e}{\sqrt{1+\ln 3}}, \qquad a\leq\psi(e)=3e$$

（第二条要求 $e\in(1,3e]$，成立）。所以原卷那一版的答案是

$$3e-\frac{2e}{\sqrt{1+\ln 3}}\leq a\leq 3e ,$$

数值上约为 $4.402\leq a\leq8.155$。两个端点都能在图上指出来：

• 上端 $a=3e$：此时 $x=e$ 正是第（Ⅰ）问里那个极大值点，而 $f(e)=(e-3e)^{2}\ln e=4e^{2}$， 恰好顶到上界——第（Ⅰ）问的 $3e$ 与第（Ⅱ）问的上端在这里合成一处，原题的设计意图一目了然；
• 下端：右端点 $x=3e$ 顶到上界，$(3e-a)^{2}\ln 3e=4e^{2}$ 解出的就是那个 $3e-\dfrac{2e}{\sqrt{1+\ln3}}$。

换成印出来的 $3a$ 之后，这份呼应就没了——上端跑到一个超越方程的根上， 第（Ⅰ）问的两个答案 $a=e$、$a=3e$ 反而都不满足第（Ⅱ）问（$e^{2}\ln 3e\approx15.5>e^{2}$）。 这也是判断「印错了」的一条旁证。

三条路怎么选

• 解法一是标准答卷，也是唯一能顺带看清函数长相的一条： 符号表一摆，内部那个局部极大、两个零点 $x=1$ 与 $x=a$ 的位置全都出来了。 代价是要分 $a\leq1$ 与 $a>1$ 两档，并且在第二档里额外比一次「内部极大 vs 右端点」—— 官方解答缺的正是这一比。
• 解法二最短，考场上性价比最高。$(x-a)^{2}\leq4a^{2}$ 与 $\ln x\leq\ln 3a$ 两句话， 加上「等号同时在 $x=3a$ 取到」一句，最大值就落袋了，两档一起收。 用它的前提是两个因子都非负（这正是先把 $(0,1]$ 摘出去的价值）， 以及上界必须取得到——少了后面这一句，得到的只是上界，条件会被放松。
• 解法三最能迁移。它把「求最大值」换成「对每个 $x$ 解出 $a$ 的可行区间再取交」， 于是区间端点是 $3a$ 还是 $3e$ 完全不影响路数——原卷那一版顺手就出来了。 代价是要处理「区间端点自己含参」这件事：取最值那一步给出的是关于 $a$ 的隐式不等式， 不能当成一个常数读。

易错

• $f'(x_{0})=0$ 就说 $x_{0}$ 是极值点。 第（Ⅰ）问解出 $a=e$、$a=3e$ 之后， 必须各验一次 $f'$ 在 $x=e$ 两侧变号；不验就下结论，遇到 $y=x^{3}$ 那种驻点会整题错 （详见易错点「导数为零就当成极值点」）。本题两个都合格，但「经检验」三个字不能省。
• 只比内部极值，忘了端点。 $[1,3a]$ 上的最大值可能出在 $x=3a$，而 $3a$ 不是驻点。 本题恰恰是端点赢了——而且赢得很多（$29.56$ 比 $0.14$）。
• 把上界当成最大值。 解法二得到 $f(x)\leq4a^{2}\ln 3a$ 之后，若不指出等号在 $x=3a$ 取到， 这个数只是一个上界；用一个够不着的上界去卡 $4e^{2}$，会把 $a$ 的范围放大。
• 忘了区间要非空。 $(0,3a]$ 要 $a>0$ 才是个区间。$a\leq0$ 时它是空集， 「对任意 $x$ 恒成立」空真成立——原卷解答默认排除了这一档，写的时候至少要提一句。
• 参变分离后以为分离干净了。 $a\geq3a-\dfrac{2e}{\sqrt{\ln 3a}}$ 右边还有 $a$， 因为区间右端就是 $3a$。把它当成「$a\geq$ 某个常数」抄下来，就等于把同一个字母当成了两个 （详见易错点「参变分离时定义域还含着参数」）。
• 硬要把 $a^{2}\ln 3a\leq e^{2}$ 化成区间。 它没有初等闭式解。 正确的交代方式是：证 $h(a)=a^{2}\ln 3a$ 在 $a>\dfrac13$ 上严格增、值域覆盖 $e^{2}$， 于是根唯一，答案写成 $0<a\leq a_{0}$ 并把 $a_{0}$ 夹在两个数之间。