判定给定点是不是极值点

这类题长什么样

不是「求 $f$ 的极值」，而是「$f$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值吗」——点已经给定， 问的只是那一个点的身份。选择题里常配四个选项：极大 / 极小 / 不是极值 / 分参数两档各问一次。

判定的两条腿

极值是局部概念，只与 $x_{0}$ 的一个邻域有关，所以两条腿都只需在邻域上验：

1. $f'(x_{0})=0$ 吗（$f$ 在 $x_{0}$ 可导时）。不为零就当场结束：可导点处取极值必有导数为零， 导数不为零意味着函数在那里严格单调地穿过去，不可能是极值点。
2. $f'$（或 $f-f(x_{0})$ 本身）在 $x_{0}$ 两侧变号吗。左负右正 $\Rightarrow$ 极小； 左正右负 $\Rightarrow$ 极大；不变号 $\Rightarrow$ 不是极值点（$y=x^{3}$ 在 $0$ 处即是）。

第 1 条是必要条件、第 2 条才是判定。只做第 1 条就下结论，是这类题最常见的失分点。

常用的捷径

$f(x)-f(x_{0})$ 若能写成 $(x-x_{0})^{m}\varphi(x)$ 且 $\varphi(x_{0})\neq0$，那就一步到位—— 在 $x_{0}$ 附近 $\varphi$ 保持 $\varphi(x_{0})$ 的符号，于是差的符号完全由 $(x-x_{0})^{m}$ 决定：

• $m$ 偶：差不变号。$\varphi(x_{0})>0$ 时取极小，$\varphi(x_{0})<0$ 时取极大。
• $m$ 奇：差变号，$x_{0}$ 不是极值点。

这条路连导数都不用求，尤其适合 $f$ 本身就是乘积形式的题。