浙江 2013 · 数学 q08

冷启动：先把四个选项读成两个问题

$$f(x)=(e^{x}-1)(x-1)^{k},\qquad k=1,\ 2 .$$

四个选项其实是两组：

同一个 $k$ 下「极小」与「极大」互斥，所以 A、B 至多对一个，C、D 也至多对一个； 而选择题只有一个答案，说明其中一组两个都错。于是最省事的问法是：

先判 $k=1$ 那一档：$x=1$ 处到底是不是极值点？

如果不是，A、B 一起出局，答案必在 C、D，再判一次极大还是极小就完了。

一个对两个 $k$ 都成立的观察

$$f(1)=(e^{1}-1)\cdot 0^{k}=0 .$$

所以「$x=1$ 处取不取极值」这个问题，等价于问

$$f(x)-f(1)=f(x)=(e^{x}-1)(x-1)^{k}$$

在 $x=1$ 附近变不变号。这是判定给定点是不是极值点最原始的定义， 两条路都是在回答这一句。

解法一：求导，因式分解后判两侧符号

官方走的是这条。要点是分开两个 $k$ 各办一次，别混着算。

第一步：$k=1$——导数在 $x=1$ 处压根不为零

$$f(x)=(e^{x}-1)(x-1),$$ $$f'(x)=e^{x}(x-1)+(e^{x}-1)\cdot 1=xe^{x}-e^{x}+e^{x}-1=xe^{x}-1 .$$

代入 $x=1$：

$$f'(1)=1\cdot e-1=e-1\approx1.72\neq0 .$$

$f$ 处处可导，而可导函数在极值点处导数必为零。$f'(1)\neq0$， 所以 $x=1$ 根本不是 $f$ 的极值点——不是极小，也不是极大。

$$\boxed{\text{A、B 一起出局}}$$

第二步：$k=2$——求导并因式分解

$$f(x)=(e^{x}-1)(x-1)^{2},$$ $$f'(x)=e^{x}(x-1)^{2}+2(e^{x}-1)(x-1) =(x-1)\bigl[e^{x}(x-1)+2(e^{x}-1)\bigr] =(x-1)\bigl(xe^{x}+e^{x}-2\bigr).$$

$f'(1)=0\cdot(\cdots)=0$，$x=1$ 是驻点。但驻点还不是结论， 下一步才是判定。

第三步：两个因子分别定号

导数因式分解判单调的规矩是：每个因子的符号都要单独说清楚，不能只看一个。

• 因子一 $x-1$：在 $x=1$ 左负右正，这一条一眼可见。
• 因子二 $g(x)=xe^{x}+e^{x}-2=e^{x}(x+1)-2$：在 $x>-1$ 上 $e^{x}$ 与 $x+1$ 都正且都递增， 故 $g$ 严格递增。又

$$g(0)=1\cdot 1-2=-1<0,\qquad g(1)=e\cdot 2-2=2e-2\approx3.44>0 ,$$

故 $g$ 在 $(0,1)$ 内有唯一零点 $x_{0}$（数值约 $0.37$），且

$$x>x_{0}\ \Longrightarrow\ g(x)>0 .$$

官方取的 $\dfrac12$ 就是一个方便的落脚点：$g\!\left(\frac12\right)=\frac32\sqrt{e}-2\approx0.47>0$， 所以整个 $\left(\frac12,1\right)$ 上 $g>0$。

第四步：合起来读符号

在 $x=1$ 的一个邻域里（比如 $\left(\frac12,\frac32\right)$）$g>0$，于是 $f'$ 与 $x-1$ 同号：

$$\frac12<x<1:\ f'(x)<0\ (\text{递减});\qquad x>1:\ f'(x)>0\ (\text{递增}).$$

左减右增，$x=1$ 处取极小值：

$$\boxed{\text{当 }k=2\text{ 时 }f\text{ 在 }x=1\text{ 处取得极小值，选 C}}$$

解法二：不求导，把 $(x-1)^{k}$ 提出来只看它的符号

上面为了 $k=2$ 求了一次导、还讨论了一个超越方程的根。其实一次导数都不用求。

第一步：作差（这一步是白送的）

作差定号的第一步是写出 $f(x)-f(1)$。而 $f(1)=0$，所以差就是 $f$ 自己：

$$f(x)-f(1)=(e^{x}-1)(x-1)^{k} .$$

第二步：那个「不该管符号」的因子确实不变号

在 $x=1$ 附近取一个具体的邻域，比如 $\left(\frac12,\frac32\right)$。在这段上

$$e^{x}-1>e^{1/2}-1=\sqrt{e}-1\approx0.65>0 ,$$

恒正。所以 $f(x)-f(1)$ 的符号完全由 $(x-1)^{k}$ 决定—— 乘上一个在该点附近不变号的正因子，不改变「变不变号」这件事。

第三步：奇偶各读一次

• $k=2$：$(x-1)^{2}\geqslant0$，且等号只在 $x=1$ 取到。于是在这个邻域里

$$f(x)-f(1)=\underbrace{(e^{x}-1)}_{>0}\underbrace{(x-1)^{2}}_{\geqslant0}\ \geqslant\ 0 ,$$

$x\neq1$ 时严格大于 $0$。这正是严格极小值的定义：$f(1)$ 比邻域里别的值都小。

• $k=1$：$(x-1)$ 在 $x=1$ 左负右正，于是 $f(x)-f(1)$ 也左负右正—— 左边比 $f(1)$ 小、右边比 $f(1)$ 大。既不是极小也不是极大，$x=1$ 不是极值点。

$$\boxed{\text{A、B 出局；}k=2\text{ 时取极小值，选 C}}$$

一句话：在 $x=1$ 处，$f$ 有一个 $k$ 重零点，而 $e^{x}-1$ 在那里不掺和。 $k$ 偶则「切而不穿」，$k$ 奇则「穿而不折」。

两块图并排看，「切」与「穿」的差别一目了然：上块 $k=2$，曲线碰到横轴又弹回去， $x=1$ 是个谷底；下块 $k=1$，曲线径直穿过去，$x=1$ 只是路过的一个零点。 注意下块真正的谷底在 $0.57$ 附近——$k=1$ 的 $f$ 有极小值，只是不在 $x=1$。

旁注一：为什么是极小，不是极大

$k=2$ 时结论是极小而不是极大，全靠 $e^{1}-1=e-1>0$ 这一个正号。 若把题目里的 $e^{x}-1$ 换成 $1-e^{x}$（它在 $x=1$ 附近恒负），同样的推理会给出

$$f(x)-f(1)=\underbrace{(1-e^{x})}_{<0}\underbrace{(x-1)^{2}}_{\geqslant0}\ \leqslant\ 0 ,$$

即 $x=1$ 处取极大值——选项 D 那一档。出题人把 D 摆在那里，钓的就是把这个正负号看漏的人。

旁注二：这条规律不止这道题

把 $f$ 写成

$$f(x)-f(x_{0})=(x-x_{0})^{m}\,\varphi(x),\qquad \varphi(x_{0})\neq0 ,$$

（$\varphi$ 在 $x_{0}$ 处连续即可）就有一张通用的表：

本题 $m=k$、$\varphi(x)=e^{x}-1$、$\varphi(1)=e-1>0$，查表即得答案。 这张表对多项式的重根、对 $(x-x_{0})^{m}$ 乘任何不为零的连续因子都成立， 比每次都去求导快得多。

两条路怎么选

本题只问身份，解法二三行到底。但解法一的过程有额外收获： 它顺手告诉你 $k=2$ 时还有一个极大值点在 $x\approx0.37$ 处—— 这一点解法二看不见，因为它只盯着 $x=1$ 的邻域。局部的方法只给局部的答案， 这既是它快的原因，也是它的边界。

一句话带走

先问「$f(x_{0})$ 是多少」，再问「$f(x)-f(x_{0})$ 能不能提出 $(x-x_{0})$ 的幂」。 提得出，就只剩两件事要看：幂次的奇偶（决定变不变号）和剩下那个因子在 $x_{0}$ 处的正负 （决定是极小还是极大）。$f'(x_{0})=0$ 只是入场券，两侧变号才是判决。