导数因式分解判单调

解题套路

1. 通分求导：把 $f'(x)$ 通分成一个分式 $\dfrac{N(x)}{M(x)}$。

2. 摘掉恒定号的因子：分母 $M(x)$ 在定义域上往往恒正（$x^2$、$1+x^2$、$1-t^2$ 在 $|t|<1$ 时……），分子里也常能提出 $x^2$、$(x-c)^2$、$\mathrm{e}^x$ 这类恒非负的因子。把它们全部摘出来：

   $$f'(x)=\underbrace{(\text{恒非负})}_{\text{不管}}\times\underbrace{h(x)}_{\text{只看这个}} .$$

3. 只讨论 $h$：$h$ 通常是一次式或二次式，含参也只需按它的根的位置分几档。$f'$ 的符号 $=h$ 的符号。

4. 回读单调性与最值：$h>0$ 的区间上 $f$ 增，$h<0$ 的区间上 $f$ 减；恒非负因子的零点处 $f'=0$ 但不改变单调方向（那是「拐一下但不折返」的点）。

为什么值得先分解

含参导数直接讨论，往往要分「参数正负」「判别式符号」「根落在区间内外」好几层；而分解之后要讨论的对象小得多——常常从一个分式退化成一个二次式，甚至一个常数的符号。

尤其要留意第 3 步的一个后果：$(x-c)^2$ 这种平方因子提供的零点不是极值点。判断极值时只数 $h$ 的变号点，平方因子的零点跳过——这是「$f'(x_0)=0$ 不等于 $x_0$ 是极值点」最常见的具体形态。

注意

• 摘因子前先把定义域写清楚：某个因子「恒正」往往只在定义域内成立（$1-t^2>0$ 只在 $|t|<1$ 上对）。
• 分子提不出干净因子时别硬提，回去老实讨论；硬凑出来的分解常常把符号弄反。

用在本题

2024 年新课标Ⅰ卷第 18 题（3）：$a=-2$ 后

平方因子恒非负，于是 $f'$ 的符号只看方括号；方括号在 $x=1$ 处最小、等于 $2+3b$，故 $f'\ge0$ 恒成立 $\iff b\ge-\dfrac23$。整道压轴题的分类讨论被压成一句「括号的最小值非负」。