浙江 2024 · 数学 q18

题面

18. 已知函数 $f(x) = \ln \frac{x}{2 - x} + ax + b(x - 1)^3$

（1）若 b=0，且 $f'(x) \geq 0$ ，求 a 的最小值；

(2) 证明: 曲线 $y = f(x)$ 是中心对称图形;

(3) 若 $f(x) > -2$ 当且仅当 1 < x < 2，求 $b^{的}$ 取值范围.

答案

(1) -2

（2）证明见解析 (3) $b \geq -\frac{2}{3}$

解析

分析

（1）求出 $f'(x)_{\min} = 2 + a$ 后根据 $f'(x) \geq 0$ 可求 $a$ 的最小值；

（2）设 $P(m,n)$ 为 $y = f(x)$ 图象上任意一点，可证 $P(m,n)$ 关于 $(1,a)$ 的对称点为 $Q(2 - m,2a - n)$ 也在函数的图像上，从而可证对称性；

（3）根据题设可判断 $f(1) = -2$ 即 $a = -2$，再根据 $f(x) > -2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立可求得 $b \geq -\frac{2}{3}$.

【小问 1 详解】

$b = 0$ 时， $f(x) = \ln \frac{x}{2 - x} + ax$ ，其中 $x\in (0,2)$

$f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2 - x} = \frac{2}{x (2 - x)} + a, x \in (0, 2)$

因为 $x(2 - x)\leq \left(\frac{2 - x + x}{2}\right)^2 = 1$ ，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立，

故 $f^{\prime}(x)_{\min} = 2 + a$ ，而 $f^{\prime}(x)\geq 0$ 成立，故 $a + 2\geq 0$ 即 $a\geq -2$

所以 a 的最小值为 -2.，

【小问 2 详解】

$f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^{3}$ 的定义域为 $(0,2)$ ,

设 $P(m,n)$ 为 $y = f(x)$ 图象上任意一点，

$P(m,n)$ 关于 $(1,a)$ 的对称点为 $Q(2-m,2a-n)$ ,

因为 $P(m,n)$ 在 $y = f(x)$ 图象上，故 $n = \ln \frac{m}{2 - m} + am + b(m - 1)^3,$

$f (2 - m) = \ln \frac{2 - m}{m} + a (2 - m) + b (2 - m - 1)^{3} = - \left[\ln \frac{m}{2 - m} + a m + b (m - 1)^{3} \right] + 2 a,$

所以 $Q(2 - m, 2a - n)$ 也在 $y = f(x)$ 图象上，

由 P 的任意性可得 $y = f(x)$ 图象为中心对称图形，且对称中心为 $(1, a)$ .

【小问 3 详解】

因为 $f(x) > -2$ 当且仅当 $1 < x < 2$ ，故 $x = 1$ 为 $f(x) = -2$ 的一个解，

所以 $f(1)=-2$ 即 a=-2，

先考虑1<x<2时， $f(x)>-2$ 恒成立.

此时 $f(x) > -2$ 即为 $\ln \frac{x}{2 - x} + 2(1 - x) + b(x - 1)^3 > 0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立，

设 $t = x - 1 \in (0,1)$，则 $\ln \frac{t + 1}{1 - t} - 2t + bt^3 > 0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，

设 $g(t) = \ln \frac{t + 1}{1 - t} - 2t + bt^3, t \in (0,1)$,

$g^{\prime} (t) = \frac{2}{1 - t^{2}} - 2 + 3 b t^{2} = \frac{t^{2} (- 3 b t^{2} + 2 + 3 b)}{1 - t^{2}}$

当 $b \geq 0$ ， $-3bt^{2} + 2 + 3b \geq -3b + 2 + 3b = 2 > 0$

故 $g'(t)>0$ 恒成立，故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，

故 $g(t) > g(0) = 0$ 即 $f(x) > -2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立.

当 $-\frac{2}{3}\leq b<0$ 时， $-3bt^{2}+2+3b\geq2+3b\geq0$ ，

故 $g'(t) \geq 0$ 恒成立，故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，

故 $g(t) > g(0) = 0$ 即 $f(x) > -2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立.

当 $b < -\frac{2}{3}$，则当 $0 < t < \sqrt{1 + \frac{2}{3b}} < 1$ 时，$g'(t) < 0$

故在 $\left(0,\sqrt{1+\frac{2}{3b}}\right)$ 上 $g(t)$ 为减函数，故 $g(t)<g(0)=0$ ，不合题意，舍；

综上， $f(x) > -2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立时 $b \geq -\frac{2}{3}$ .

而当 $b\geq-\frac{2}{3}$ 时，

而 $b \geq -\frac{2}{3}$ 时，由上述过程可得 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 递增，故 $g(t) > 0$ 的解为 $(0,1)$，

即 $f(x) > -2$ 的解为 $(1, 2)$ .

综上， $b \geq -\frac{2}{3}$ .

【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.