浙江 2024 · 数学 q18

冷启动：先把定义域和「三问之间的关系」看清楚

$$f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3 .$$

第一件事永远是定义域。 $\ln$ 的真数必须为正：$\dfrac{x}{2-x}>0\iff 0<x<2$。所以整道题只在开区间 $(0,2)$ 上说话——这个区间关于 $x=1$ 左右对称，而立方项的中心也恰好是 $1$。这不是巧合，第 (2) 问就是要你把它说出来。

第二件事是把导数备好，三问都要用它：

$$f'(x)=\underbrace{\frac1x+\frac1{2-x}}_{\ln\frac{x}{2-x}=\ln x-\ln(2-x)\ \text{的导数}}+\,a+3b(x-1)^2 =\frac{2}{x(2-x)}+a+3b(x-1)^2 .$$

（$\ln(2-x)$ 是复合函数，外层导数 $\dfrac1{2-x}$ 乘内层导数 $-1$，得 $-\dfrac{-1}{2-x}=+\dfrac{1}{2-x}$——两个负号抵掉，这里最容易掉符号。）

再记一个反复出现的小恒等式：

$$x(2-x)=1-(x-1)^2 .$$

配方一次就得到，它把「$x$ 的位置」换成了「到中心 $1$ 的距离」，是本题所有化简的枢纽。

三问之间的关系是这样的：

• 第 (1) 问：$b=0$ 时让 $f'\ge0$，求 $a$ 的最小值——一个纯最值问题。
• 第 (2) 问：证曲线中心对称——它是第 (3) 问的工具，不是装饰。
• 第 (3) 问：「$f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$」反求 $b$ 的范围。注意 $1$ 是解集的端点、又在定义域内部，所以**$f(1)=-2$ 白送**，而 $f(1)=\ln 1+a+0=a$，于是 $a=-2$ 立刻到手。

两条路的分歧在第 (3) 问：是换元之后老老实实按 $b$ 分档讨论，还是先把 $f'$ 分解、把这一问变回第 (1) 问。

解法一：换元后按 b 分档讨论

怎么想到的。 第 (3) 问的一切都发生在「以 $1$ 为中心」的世界里：解集是 $(1,2)$，立方项是 $(x-1)^3$，定义域也以 $1$ 为中点。那就把原点搬到 $1$ 去——令 $t=x-1$，式子会变成一个漂亮的奇函数形状，再逐档讨论导数的符号。

① 第 (1) 问：$b=0$，求 $a$ 的最小值。 此时

$$f'(x)=\frac{2}{x(2-x)}+a,\qquad x\in(0,2).$$

分母 $x(2-x)$ 是两个正数之积，由基本不等式

$$x(2-x)\le\left(\frac{x+(2-x)}{2}\right)^2=1,$$

当且仅当 $x=2-x$ 即 $x=1$ 时取等。所以 $\dfrac{2}{x(2-x)}\ge 2$，$f'$ 的最小值是

$$f'(1)=2+a .$$

$f'(x)\ge0$ 在 $(0,2)$ 上恒成立 $\iff 2+a\ge0\iff a\ge-2$。故 $a$ 的最小值为

$$\boxed{-2}.$$

② 第 (2) 问：证曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形。 猜对称中心是 $(1,a)$——横坐标取定义域的中点，纵坐标取 $f(1)=a$。

定义域 $(0,2)$ 关于 $x=1$ 对称，所以只要证：$P(m,n)$ 在图象上 $\Rightarrow$ 它关于 $(1,a)$ 的对称点 $Q(2-m,\,2a-n)$ 也在图象上。

设 $P(m,n)$ 在图象上，即

$$n=\ln\frac{m}{2-m}+am+b(m-1)^3 .$$

计算 $f(2-m)$（注意 $2-m\in(0,2)$，在定义域内）：

$$f(2-m)=\ln\frac{2-m}{m}+a(2-m)+b(2-m-1)^3 =-\ln\frac{m}{2-m}-am+2a-b(m-1)^3 ,$$

（用了 $\ln\dfrac{1}{u}=-\ln u$ 与 $(1-m)^3=-(m-1)^3$）把三项合起来：

$$f(2-m)=-\Bigl[\ln\frac{m}{2-m}+am+b(m-1)^3\Bigr]+2a=-n+2a=2a-n .$$

所以 $Q(2-m,2a-n)$ 在图象上。由 $P$ 的任意性，$y=f(x)$ 是中心对称图形，对称中心为 $(1,a)$。

③ 第 (3) 问：先定 $a$。 因为「$f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$」，$x=1$ 不在解集里，故 $f(1)\le-2$；而 $f$ 在 $x=1$ 处连续、右侧邻域内 $f>-2$，取极限得 $f(1)\ge-2$。两边夹得

$$f(1)=-2 .$$

而 $f(1)=\ln\dfrac{1}{2-1}+a\cdot1+b\cdot0=a$，所以 $a=-2$，

$$f(x)=\ln\frac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3 .$$

④ 换元，把问题搬到原点。 由第 (2) 问，对称中心是 $(1,-2)$。令

$$t=x-1\in(-1,1),\qquad g(t)=f(t+1)+2 .$$

代入并整理（$x=t+1$，$2-x=1-t$）：

$$g(t)=\ln\frac{1+t}{1-t}-2(1+t)+bt^3+2=\ln\frac{1+t}{1-t}-2t+bt^3 .$$

这是个奇函数（三项逐项都是奇的），$g(0)=0$。原条件「$f(x)>-2$ 当且仅当 $x\in(1,2)$」翻译过来就是

$$g(t)>0\ \text{当且仅当}\ t\in(0,1).$$

而 $g$ 是奇函数，所以「$t\in(0,1)$ 上 $g>0$」自动给出「$t\in(-1,0)$ 上 $g<0$」——两个方向只需证一个。于是只剩：$g(t)>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，求 $b$。

⑤ 求导，按 $b$ 分三档。

$$g'(t)=\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}-2+3bt^2=\frac{2}{1-t^2}-2+3bt^2 =\frac{2t^2}{1-t^2}+3bt^2=\frac{t^2\bigl[\,2+3b(1-t^2)\,\bigr]}{1-t^2}.$$

在 $(0,1)$ 上 $t^2>0$、$1-t^2>0$，所以 $g'$ 的符号只由 $h(t)=2+3b(1-t^2)$ 决定。注意 $1-t^2\in(0,1)$。

• $b\ge0$：$3b(1-t^2)\ge0$，故 $h(t)\ge2>0$，$g'>0$，$g$ 在 $(0,1)$ 上递增，$g(t)>g(0)=0$。合题意。

• $-\dfrac23\le b<0$：此时 $3b<0$，而 $1-t^2<1$，故 $3b(1-t^2)>3b$，于是

  $$h(t)>2+3b\ge2+3\times\left(-\frac23\right)=0 .$$

  仍有 $g'>0$，$g$ 递增，$g(t)>0$。合题意。

• $b<-\dfrac23$：此时 $2+3b<0$。$h$ 在 $(0,1)$ 上连续、$h(0^+)\to2+3b<0$，故存在 $\delta>0$ 使 $t\in(0,\delta)$ 时 $h(t)<0$，从而 $g'(t)<0$，$g$ 在 $(0,\delta)$ 上递减，于是 $g(t)<g(0)=0$——在解集内部出现了 $f(x)<-2$，与题意矛盾，舍。

  （具体地，$h(t)=0$ 解得 $t^2=1+\dfrac{2}{3b}$，因 $b<-\dfrac23$ 有 $0<1+\dfrac{2}{3b}<1$，所以那个分界点 $t_0=\sqrt{1+\frac{2}{3b}}$ 真在 $(0,1)$ 内，$g$ 在 $(0,t_0)$ 上递减。）

综上

$$\boxed{b\ge-\frac23}.$$

（充分性已在前两档中证完：$b\ge-\frac23$ 时 $g$ 在 $(0,1)$ 上恒正，配奇函数得 $(-1,0)$ 上恒负，故 $g>0$ 的解集恰是 $(0,1)$，即 $f(x)>-2$ 的解集恰是 $(1,2)$。）

解法二：把第三问退回第一问

怎么想到的。 回头看第 (1) 问在问什么：「$f'\ge0$ 恒成立，参数取什么」。再看第 (3) 问要什么：$f(1)=-2$ 已定，若能证「$f$ 在 $(0,2)$ 上单调递增」，那么

$$f(x)>-2\iff f(x)>f(1)\iff x>1 ,$$

配上定义域就恰好是 $(1,2)$——双向一次到手，连必要性都不用单独说。也就是说，第 (3) 问的实质是「$f'\ge0$ 恒成立，$b$ 取什么」，与第 (1) 问是同一个问题换了个参数。既然如此，就照第 (1) 问那样处理：把 $f'$ 因式分解，让恒非负的因子退场。

① 第 (1) 问。 $b=0$ 时 $f'(x)=\dfrac{2}{x(2-x)}+a$。用配方（不用基本不等式也一样）：$x(2-x)=1-(x-1)^2\le1$，且在 $(0,2)$ 上恒正，故 $\dfrac{2}{x(2-x)}\ge2$，等号在 $x=1$ 取到。于是 $f'$ 的最小值为 $2+a$，$f'\ge0$ 恒成立 $\iff a\ge-2$，$a$ 的最小值是 $-2$。

② 第 (2) 问。 定义域 $(0,2)$ 关于 $x=1$ 对称。对任意 $x\in(0,2)$ 直接算两点的函数值之和：

$$f(x)+f(2-x)=\underbrace{\left(\ln\frac{x}{2-x}+\ln\frac{2-x}{x}\right)}_{=\ln 1=0} +\underbrace{a\bigl[x+(2-x)\bigr]}_{=2a} +\underbrace{b\bigl[(x-1)^3+(1-x)^3\bigr]}_{=0}=2a .$$

「对定义域内每个 $x$ 都有 $f(x)+f(2-x)=2a$」正是「图象关于点 $(1,a)$ 中心对称」的等价说法（点 $(x,f(x))$ 与 $(2-x,f(2-x))$ 的中点恒为 $(1,a)$）。证毕，对称中心为 $(1,a)$。

③ 第 (3) 问：定 $a$，再把 $f'$ 分解。 同样先由端点定 $a$：$x=1$ 在定义域内部又是解集 $(1,2)$ 的端点，由 $f$ 连续得 $f(1)=-2$，而 $f(1)=a$，故 $a=-2$。代回并用 $x(2-x)=1-(x-1)^2$：

$$f'(x)=\frac{2}{1-(x-1)^2}-2+3b(x-1)^2 .$$

记 $s=(x-1)^2$，当 $x$ 跑遍 $(0,2)$ 时 $s$ 跑遍 $[0,1)$。前两项合并：

$$\frac{2}{1-s}-2=\frac{2-2(1-s)}{1-s}=\frac{2s}{1-s},$$

于是

$$f'(x)=\frac{2s}{1-s}+3bs=s\left[\frac{2}{1-s}+3b\right],\qquad s=(x-1)^2\in[0,1).$$

因子 $s$ 恒非负，所以 $f'$ 的符号只看方括号。 而 $\dfrac{2}{1-s}$ 在 $[0,1)$ 上随 $s$ 递增，最小值在 $s=0$（即 $x=1$）处等于 $2$。故

$$f'(x)\ge0\ \text{在}\ (0,2)\ \text{上恒成立} \iff \frac{2}{1-s}+3b\ge0\ \ \forall s\in[0,1) \iff 2+3b\ge0 \iff b\ge-\frac23 .$$

这一步与第 (1) 问的「$2+a\ge0$」一模一样——同一个最小值 $2$，只是这次和它相加的是 $3b$。

④ 两个方向各走一遍。

• $b\ge-\dfrac23$ 够用（充分性）：此时 $f'\ge0$ 且只在 $x=1$ 处取零（$s=0$ 时方括号 $=2+3b$，若它为 $0$ 则 $f'=0$ 也只在 $s=0$ 一点），故 $f$ 在 $(0,2)$ 上严格递增。配 $f(1)=-2$，得

  $$f(x)>-2\iff f(x)>f(1)\iff x>1 ,$$

  与定义域取交，解集恰为 $(1,2)$。两个方向一次到手。

• $b<-\dfrac23$ 不行（必要性）：此时 $2+3b<0$，即方括号在 $s=0$ 处为负；由连续性，存在 $\delta>0$ 使 $0<s<\delta$ 时方括号仍为负，此时 $f'(x)<0$。也就是说 $f$ 在 $x=1$ 右侧一小段上递减，于是那一小段上 $f(x)<f(1)=-2$。但这一小段落在 $(1,2)$ 内，与「$(1,2)$ 上 $f>-2$」矛盾，舍。

综上

$$b\ge-\frac23 .$$

这两条路差在哪。 解法一换元 $t=x-1$，把定义域搬成 $(-1,1)$、把函数搬成一个奇函数——好处是「解集在右半边」与「另一半自动成立」这件事一眼就能说清，代价是要按 $b$ 分三档逐一验证 $g'$ 的符号（也就是官方那条路）。解法二不换元，而是把 $f'$ 因式分解成「$(x-1)^2\times$ 方括号」，让恒非负的平方因子退场：$f'\ge0$ 就退化成方括号的最小值非负，一个不等式解完，不用分档；而且它把第 (3) 问看成第 (1) 问的同构版本（$2+a\ge0$ ↔ $2+3b\ge0$），三问之间的骨架一下露出来了。代价是要先想到「单调递增 + $f(1)=-2$」能一次覆盖「当且仅当」的两个方向——这一步想到了就短得多，想不到就只能走解法一。

🕳️ 避坑

• 「当且仅当」是双向的。 只证「$(1,2)$ 上 $f>-2$」得到的是「解集 $\supseteq(1,2)$」，不是「解集 $=(1,2)$」。两条免费的抄近路：奇函数（解法一）或严格单调（解法二），都能把另一半白送——但必须明确写出来，不能默认。
• 定义域先写，再动笔。 全题只在 $(0,2)$ 上有意义。忘了它，第 (1) 问会误以为 $x(2-x)$ 能取到很大的值，$\dfrac{2}{x(2-x)}$ 的下界就找错了。
• $\ln(2-x)$ 求导要乘内层的 $-1$：$\bigl[-\ln(2-x)\bigr]'=+\dfrac{1}{2-x}$。两个负号相乘变正，漏掉一个，整道题的 $f'$ 全错。
• 平方因子的零点不是极值点。 $f'(x)=(x-1)^2[\cdots]$ 在 $x=1$ 处为零，但当方括号为正时 $f$ 在 $x=1$ 两侧都递增——$x=1$ 只是「拐一下」，不是极值点。数极值点只数方括号的变号点。
• 第 (1) 问问的是**「$a$ 的最小值」，答案是 $-2$ 这个数，不是范围 $a\ge-2$。第 (3) 问问的是「$b$ 的取值范围」**，答案就要写成 $b\ge-\dfrac23$。问什么答什么，这两问的问法是刻意错开的。