浙江 2015 · 数学 q10

冷启动：把两问翻译成「用哪一段」

题给的是

$$f(x)=\begin{cases} x+\dfrac{2}{x}-3, & x\geq 1,\\[6pt] \lg\bigl(x^{2}+1\bigr), & x<1 . \end{cases}$$

两个空各考一件事：

• 第一空 $f(f(-3))$：纯粹考「每次代入前先看 $x$ 落在哪一段」。从里往外算， 算一次就要重新判一次段——里层的输出是外层的输入，两次用的未必是同一段。
• 第二空最小值：两段各自求最小，再取两个结果里小的那个。 两段的定义域不重叠，所以必须两段都算完再比，只算一段是没有结论的。

分界点 $x=1$ 归谁，题面写得很清楚：$x\geq 1$ 那一支带等号，所以 $f(1)$ 走上面那一段。 这道题唯一的暗礁就在这里——走错了，第一空会变成 $\lg 2$。

解法一：两段各自求最小，右段交给基本不等式

第一步：第一空，从里往外算两次

里层：$-3<1$，落在下面那一段，

$$f(-3)=\lg\bigl((-3)^{2}+1\bigr)=\lg 10=1 .$$

外层：把刚才的输出 $1$ 当输入。$1\geq 1$，落在上面那一段（题面的 $x\geq1$ 带等号），

$$f(1)=1+\frac{2}{1}-3=0 .$$

所以

$$f\bigl(f(-3)\bigr)=0 .$$

第二步：右段 $x\geq1$ 的最小值——基本不等式

在 $x\geq1$ 上 $x>0$，两个正数 $x$ 与 $\dfrac2x$ 的乘积是定值 $2$，故

$$x+\frac{2}{x}\ \geq\ 2\sqrt{x\cdot\frac{2}{x}}=2\sqrt2 ,$$

等号当且仅当 $x=\dfrac2x$，即 $x=\sqrt2$。

必须验等号点在不在这一段里：$\sqrt2\approx1.414\geq1$，在。于是

$$\min_{x\geq1}\left(x+\frac2x-3\right)=2\sqrt2-3 ,$$

在 $x=\sqrt2$ 处取到。

（这一步不能省。若这一段的定义域是 $x\geq2$，取等点 $\sqrt2$ 就掉到区间外， $2\sqrt2-3$ 只是个够不着的下界，真最小值得另算。）

第三步：左段 $x<1$ 的最小值——内层的范围加外层的增减

内层 $u=x^{2}+1$。在 $x<1$ 上 $x^{2}\geq0$，故 $u\geq1$，等号在 $x=0$ 取到； 而 $0<1$，这个点确实在这一段里。

外层是常用对数，在 $(0,+\infty)$ 上是增的，所以 $u$ 最小时整个式子也最小：

$$\min_{x<1}\lg\bigl(x^{2}+1\bigr)=\lg 1=0 ,$$

在 $x=0$ 处取到。

第四步：两段一比

$$2\sqrt2=\sqrt8<\sqrt9=3\quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt2-3<0 .$$

（平方比大小，别换成小数。）于是右段那个更小：

$$\min_{x\in\mathbf{R}}f(x)=2\sqrt2-3 .$$

第五步：作答

答案：$0$；$2\sqrt{2}-3$。

解法二：两段都用单调性定最小，右段求导、左段看复合

不用基本不等式也能做完，而且顺带把「最小值到底在哪里取」看得更清楚。

第一步：第一空

$-3<1$，走下面那一段：$f(-3)=\lg(9+1)=\lg 10=1$。 $1\geq1$，走上面那一段：$f(1)=1+2-3=0$。故 $f(f(-3))=0$。

第二步：右段求导，把导数分解成因式

记 $g(x)=x+\dfrac2x-3$（$x\geq1$）。求导并通分：

$$g'(x)=1-\frac{2}{x^{2}}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}}=\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x^{2}} .$$

在 $x\geq1$ 上，分母 $x^{2}>0$，因子 $x+\sqrt2>0$，所以 $g'$ 的符号完全由 $x-\sqrt2$ 决定：

先减后增，故 $x=\sqrt2$ 是这一段上的最小值点：

$$g(\sqrt2)=\sqrt2+\frac{2}{\sqrt2}-3=\sqrt2+\sqrt2-3=2\sqrt2-3 .$$

端点也要看一眼：这一段是 $[1,+\infty)$，左端 $g(1)=1+2-3=0>2\sqrt2-3$； 右边没有端点，且 $x\to+\infty$ 时 $g\to+\infty$。所以最小值确实是内部那个 $2\sqrt2-3$。

第三步：左段看复合的两层

记 $h(x)=\lg\bigl(x^{2}+1\bigr)$（$x<1$），内层 $u(x)=x^{2}+1$，外层是常用对数。

• 内层：$u$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减、在 $[0,1)$ 上递增，故 $u$ 在 $x=0$ 处取到最小值 $1$。 （$x\to-\infty$ 时 $u\to+\infty$，所以 $u$ 在这一段上的取值范围是 $[1,+\infty)$， 下界够得着、上界没有。这里只用到「下界 $1$ 取得到」这一条。）
• 外层：常用对数在 $(0,+\infty)$ 上递增。

外层递增，所以「内层小 $\Rightarrow$ 整体小」，两层的增减方向直接相乘即可： $h$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减、在 $[0,1)$ 上递增，最小值

$$h(0)=\lg 1=0 .$$

这一步的方向不能想当然：如果外层换成 $\log_{\frac12}$（递减），结论就要反过来—— 内层最小的地方反而给出整体的最大值。判定复合的增减，两层都要看。

第四步：合并两段

两段的最小值分别是 $2\sqrt2-3$ 与 $0$。由 $8<9$ 得 $2\sqrt2<3$，即 $2\sqrt2-3<0$， 所以

$$\min_{x\in\mathbf{R}}f(x)=2\sqrt2-3 .$$

第五步：作答

答案：$0$；$2\sqrt{2}-3$。

回头看：四个失分点

一、分界点归谁。 题面写 $x\geq1$，所以 $f(1)$ 用 $x+\dfrac2x-3$，算得 $0$。 若题面写的是 $x>1$，$f(1)$ 就得用 $\lg(1+1)=\lg 2$，第一空的答案随之变成 $\lg2$。 一个等号，改的是答案本身。

二、复合求值要逐次判段。 $-3$ 走下面那段、$1$ 走上面那段——两次判断，两个不同的答案。 把两次都按第一次的段代进去，是这类题最常见的错法。

三、基本不等式的第三个条件。 「一正二定三相等」里，前两条几乎自动满足， 第三条要动手验：取等点 $x=\sqrt2$ 必须落在 $x\geq1$ 里。这道题恰好落进去了， 但把定义域改成 $x\geq2$，答案就从 $2\sqrt2-3$ 变成 $g(2)=0$。

四、两段都算完再比。 只算右段写 $2\sqrt2-3$ 是碰巧对；只算左段写 $0$ 就错了。 比大小时用 $2\sqrt2=\sqrt8<\sqrt9=3$，平方比，不要换成小数近似。

一句话记住这道题：分段函数的每一次代入都是一次新的判段， 每一段的最值都是一次独立的求解——最后才有资格比。