基本不等式

教材原文

$\forall a, b \in \mathbf{R}$, 有

$a ^ {2} + b ^ {2} \geqslant 2 a b,$

当且仅当 a=b 时，等号成立.

$$\sqrt {a b} \leqslant \frac {a + b}{2},\tag{1}$$

当且仅当 a=b 时，等号成立.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

公式

等价常用形：$a+b\ge2\sqrt{ab}$；$\dfrac ba+\dfrac ab\ge2$（$ab>0$）；$t+\dfrac{k}{t}\ge2\sqrt k$（$t,k>0$）。

三个前提缺一不可（「一正二定三相等」）

1. 一正：两个数都为正。$a<0$ 时不等号反向——$t+\dfrac kt\le-2\sqrt k$。
2. 二定：乘积（或和）为定值，最值才取得到。
3. 三相等：取等条件 $a=b$ 必须在允许范围内真能达到，否则那个界取不到、不是最值。

「对勾函数」的值域

$f(t)=t+\dfrac{k}{t}$（$k>0$）的值域由这条不等式一次读出：

所以 $f$ 的值域是 $\left(-\infty,-2\sqrt k\,\right]\cup\left[\,2\sqrt k,+\infty\right)$——中间那一段取不到。判断「方程 $t+\dfrac kt=m$ 有没有实数解」时，这就是全部答案：$|m|\ge2\sqrt k$ 才有解。

失手处

• 忘了验「一正」：负数上照抄会得到反的结论。
• 取等条件没验：算出 $\ge2\sqrt k$ 就当成最小值，可 $t$ 的范围里根本达不到 $t=\sqrt k$。
• 两次使用基本不等式却要求两处同时取等——两个取等条件常常互相矛盾，要一起验。