浙江 2021 · 数学 q08

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2021 · 数学 q08 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma 是互不相同的锐角, 则在 sin⁡αcos⁡β,sin⁡βcos⁡γ,sin⁡γcos⁡α\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha 三个值中, 大于 12\frac{1}{2} 的个数的最大值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案

C

解析

分析

利用基本不等式或排序不等式得

sin⁡αcos⁡β+sin⁡βcos⁡γ+sin⁡γcos⁡α≤32\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \gamma + \sin \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{2}，从而可判断三个代数式不可能均大于 12\frac{1}{2}，再结合特例可得三式中大于 12\frac{1}{2} 的个数的最大值.

法1：由基本不等式有 sin⁡αcos⁡β≤sin⁡2α+cos⁡2β2\sin \alpha \cos \beta \leq \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\beta}{2}

同理 sin⁡βcos⁡γ≤sin⁡2β+cos⁡2γ2,sin⁡γcos⁡α≤sin⁡2γ+cos⁡2α2,\sin \beta \cos \gamma \leq \frac{\sin^2\beta + \cos^2\gamma}{2}, \sin \gamma \cos \alpha \leq \frac{\sin^2\gamma + \cos^2\alpha}{2},

sin⁡αcos⁡β+sin⁡βcos⁡γ+sin⁡γcos⁡α≤32\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \gamma + \sin \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{2}

故 sin⁡αcos⁡β,sin⁡βcos⁡γ,sin⁡γcos⁡α\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha 不可能均大于 12\frac{1}{2}.

取 α=π6\alpha = \frac{\pi}{6}, β=π3\beta = \frac{\pi}{3}, γ=π4\gamma = \frac{\pi}{4},

sin⁡αcos⁡β=14<12,sin⁡βcos⁡γ=64>12,sin⁡γcos⁡α=64>12,\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}, \sin \beta \cos \gamma = \frac{\sqrt{6}}{4} > \frac{1}{2}, \sin \gamma \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{4} > \frac{1}{2},

故三式中大于 12\frac{1}{2} 的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设 α<β<γ\alpha < \beta < \gamma ，则 cos⁡α>cos⁡β>cos⁡γ,sin⁡α<sin⁡β<sin⁡γ\cos \alpha > \cos \beta > \cos \gamma, \sin \alpha < \sin \beta < \sin \gamma ，

由排列不等式可得:

sin⁡αcos⁡β+sin⁡βcos⁡γ+sin⁡γcos⁡α≤sin⁡αcos⁡γ+sin⁡βcos⁡β+sin⁡γcos⁡α\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \gamma + \sin \gamma \cos \alpha \leq \sin \alpha \cos \gamma + \sin \beta \cos \beta + \sin \gamma \cos \alpha

sin⁡αcos⁡γ+sin⁡βcos⁡β+sin⁡γcos⁡α=sin⁡(γ+α)+12sin⁡2β≤32\sin \alpha \cos \gamma + \sin \beta \cos \beta + \sin \gamma \cos \alpha = \sin (\gamma + \alpha) + \frac{1}{2} \sin 2 \beta \leq \frac{3}{2}

故 sin⁡αcos⁡β,sin⁡βcos⁡γ,sin⁡γcos⁡α\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha 不可能均大于 12\frac{1}{2}.

取 α=π6\alpha=\frac{\pi}{6} ， β=π3\beta=\frac{\pi}{3} ， γ=π4\gamma=\frac{\pi}{4} ，

sin⁡αcos⁡β=14<12,sin⁡βcos⁡γ=64>12,sin⁡γcos⁡α=64>12,\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}, \sin \beta \cos \gamma = \frac{\sqrt{6}}{4} > \frac{1}{2}, \sin \gamma \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{4} > \frac{1}{2},

故三式中大于 12\frac{1}{2} 的个数的最大值为2，

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.