浙江 2021 · 数学 q08

读题：三个乘积，问最多几个能超过 1/2

三个锐角 $\alpha, \beta, \gamma$ 互不相同。把它们的正弦和余弦交叉配对做三个乘积：

$$\sin\alpha\cos\beta,\quad \sin\beta\cos\gamma,\quad \sin\gamma\cos\alpha$$

问：这三个值中，大于 $\dfrac{1}{2}$ 的个数最多是多少？

选项是 0、1、2、3。

第一反应：三个锐角的正弦、余弦都在 $(0,1)$ 之间，每个乘积也在 $(0,1)$ 之间。能不能三个都超过 $\dfrac{1}{2}$？直觉上似乎可以——比如三个角都取 $\dfrac{\pi}{4}$ 附近时，每个乘积都接近 $\dfrac{1}{2}$。但题目要求互不相同，而且「接近」不等于「超过」。需要严格论证。

解法一：先界和后构造

怎么想到的。 问「最多几个能超过 $\dfrac{1}{2}$」，等价于问「能不能三个都超过」。如果能证明三个乘积的和有一个不超过 $\dfrac{3}{2}$ 的上界，那三个都超过 $\dfrac{1}{2}$（和 $> \dfrac{3}{2}$）就不可能了。

看到「乘积」要估「和」，自然想到基本不等式 $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$——它正是把乘积放缩成平方和的工具。

第一步：用基本不等式放缩每一项

$\alpha, \beta, \gamma$ 都是锐角，所以 $\sin\alpha, \cos\beta, \sin\beta, \cos\gamma, \sin\gamma, \cos\alpha$ 全为正数——基本不等式的「一正」条件满足。逐项应用：

$$\sin\alpha\cos\beta \leq \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\beta}{2}$$ $$\sin\beta\cos\gamma \leq \frac{\sin^2\beta + \cos^2\gamma}{2}$$ $$\sin\gamma\cos\alpha \leq \frac{\sin^2\gamma + \cos^2\alpha}{2}$$

三式相加。右端的分子恰好重新组合：

$$\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\gamma + \sin\gamma\cos\alpha \leq \frac{(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + (\sin^2\beta+\cos^2\beta) + (\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)}{2}$$

由同角三角函数的基本关系 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$：

$$\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\gamma + \sin\gamma\cos\alpha \leq \frac{1+1+1}{2} = \frac{3}{2}$$

第二步：排除「三个都大于 1/2」

若三个乘积都大于 $\dfrac{1}{2}$，则它们的和 $> \dfrac{3}{2}$，与上界矛盾。

所以三个中至多有 2 个大于 $\dfrac{1}{2}$。

第三步：构造取到 2 的例子

光证「不可能 3 个」还不够——还得说明 2 个确实能取到。

取 $\alpha = \dfrac{\pi}{6},\ \beta = \dfrac{\pi}{3},\ \gamma = \dfrac{\pi}{4}$（互不相同的锐角）：

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$$ $$\sin\beta\cos\gamma = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} > \frac{1}{2}$$ $$\sin\gamma\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} > \frac{1}{2}$$

恰好 2 个大于 $\dfrac{1}{2}$，达到上界。

为什么上界取不到也不影响结论

注意基本不等式取等要求 $\sin\alpha = \cos\beta$、$\sin\beta = \cos\gamma$、$\sin\gamma = \cos\alpha$ 同时成立——即三个角全等于 $\dfrac{\pi}{4}$，违反「互不相同」。所以和 $= \dfrac{3}{2}$ 取不到。但这不要紧：我们只需要和不能大于 $\dfrac{3}{2}$（严格不等式也够用），就能排除三个都 $> \dfrac{1}{2}$ 的情况。

🕳️ 避坑

• 「最大值」问题必须做两件事：证上界（排除 3）+ 构造例子（确认 2 取得到）。只做一半就选答案，等于没做完。
• 构造例子时三个角必须互不相同——取 $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{4}$ 虽然让三个乘积都等于 $\dfrac{1}{2}$，但违反题设。
• 放缩方向别搞反：要证「不能都大」，得往小放（$\leq$），得到一个上界。若不小心往大放，得到的下界对排除「都大」毫无帮助。