浙江 2014 · 数学 q21

题面

21(本题满分15分)

如图，设椭圆 C: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 动直线 $l$ 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限.

(I) 已知直线 $l$ 的斜率为 $k$, 用 $a, b, k$ 表示点 $\mathrm{P}$ 的坐标;

(II) 若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，证明：点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $a - b$.

解析

：(I)【方法1】设直线 $l$ 的方程为 $y = kx + m(k < 0)$，由 $\left\{\begin{array}{l} y = kx + m \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{array} \right.$，消去 $y$ 得

$(b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2m^2 - a^2b^2 = 0$

由于直线 $l$ 与椭圆 C 只有一个公共点 P，故 $\Delta = 0$，即 $b^2 - m^2 + a^2k^2 = 0$，解得点 P 的坐标为

$P(-\frac{a^2km}{b^2 + a^2k^2}, \frac{b^2m}{b^2 + a^2k^2})$

又点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为 $P(-\frac{a^2k}{\sqrt{b^2 + a^2k^2}}, \frac{b^2}{\sqrt{b^2 + a^2k^2}})$

【方法 2】作变换 $\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{a} = x' \\ \frac{y}{b} = y' \end{array} \right.$，则椭圆 C：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 变为圆 $C'$：

$x'^2 + y'^2 = 1$

切点 $P(x_0, y_0)$ 变为点 $P'(x'_0, y'_0)$，切线 $l: y - y_0 = k(x - x_0) (k < 0)$ 变为 $l': by' - y_0 = k(ax' - x_0)$。

在圆 $C'$ 中设直线 $O'P'$ 的方程为 $y' = mx' (m > 0)$，

由 $\left\{\begin{array}{l} y' = mx' \\ x'^2 + y'^2 = 1 \end{array} \right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x'_0 = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \\ y'_0 = \frac{m}{\sqrt{1 + m^2}} \end{array} \right.$

即 $P'(\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}, \frac{m}{\sqrt{1 + m^2}})$，由于 $O'P' \perp l'$，

所以 $k_{O'P'} \cdot k_{l'} = -1$，得 $m \cdot \frac{ak}{b} = -1$，

即 $m = -\frac{b}{ak}$ 代入得 $P'(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{b^2}{(ak)^2}}}, \frac{-\frac{b}{ak}}{\sqrt{1 + \frac{b^2}{(ak)^2}}})$ 即

$P'(-\frac{ak}{\sqrt{a^2k^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2k^2 + b^2}})$，

利用逆变换 $\left\{\begin{array}{l} x' = \frac{x}{a} \\ y' = \frac{y}{b} \end{array} \right.$ 代入即得：

$P (- \frac{a^{2} k}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}}, \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}})$

（Ⅱ）由于直线 $l_{1}$ 过原点O且与直线 $l$ 垂直，故直线 $l_{1}$ 的方程为 $\mathrm{x + ky = 0}$ ，所以点P到直线 $l_{1}$ 的距离

$d = \frac{\left| -\frac{a^2k}{\sqrt{b^2 + a^2k^2}} + \frac{b^2k}{\sqrt{b^2 + a^2k^2}} \right|}{\sqrt{1 + k^2}}$ 整理得: $d = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{b^2 + a^2 + a^2k^2 + \frac{b^2}{k^2}}}$

因为 $a^2 k^2 +\frac{b^2}{k^2}\geq 2ab$ ，所以 $d = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{b^2 + a^2 + a^2k^2 + \frac{b^2}{k^2}}}\leq \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{b^2 + a^2 + 2ab}} = a - b$

当且仅当 $k^2 = \frac{b}{a}$ 时等号成立.

所以，点 P 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 a - b .