浙江 2013 · 数学 q21

题面

21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆\complement_{1}$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ( a > b > 0 )的一个顶点，C 的长轴是圆C,:\complement_{2}$${x}^{2} + {y}^{2} = {4}的直径．l₁，$1_{2}$是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆$\mathrm{C}_{2}$于两点，l₂交椭圆$\mathrm{C}_{1}$于另一点D

（1）求椭圆$\mathrm{C}_{1}$的方程；

（2）求$\triangle \mathrm{A B D}$面积取最大值时直线$_{1 1}$的方程

（1）求椭圆$\mathrm{C}_{1}$的方程；

（2）求$\triangle \mathrm{A B D}$面积取最大值时直线l 的方程

解析

分析

（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；

（2）设$A \left( x_{1} , \mu_{\mathrm{y} 1} \right)$），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．由题意可知：直线$_{1 1}$的斜率存在，设为k，则直线$_{1 1}$的方程为$y {=} k x - \beta 1$．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线$1_{1}$的距离和弦长|AB|，又$1_{2} \bot 1_{1}$可得直线$1_{2}$的方程为$x + k x + k {=} 0$，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值

解答

解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即$a {=} 2$

∴椭圆$\mathrm{C}_{1}$的方程为$\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$；

（2）设$A \left( x_{1} , y_{1} \right)$），B（x₂，y₂），D$( x_{0} , y_{0} )$

由题意可知：直线$1_{1}$的斜率存在，设为k，则直线$1_{1}$的方程为$y {=} k x - \beta 1$

又圆$\bar{C}_{2} : \mathrm{\vec{x}}^{2} + y^{2} = 4$的圆心O（0，0）到直线$_{1 1}$的距离${\mathrm{d}}{=} \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{k}}^{2} + 1}} .$

$\therefore | \mathrm{AB} | = 2 \sqrt{4 - \mathrm{d}^{2}} = 2 \sqrt{\frac{4 \mathrm{k}^{2} + 3}{\mathrm{k}^{2} + 1}}.$

又$_{1 2 \bot 1_{1}}$，故直线l₂的方程为$x + k y + k {=} 0$，联立${\left\{\begin{array}{l l}{x + k y + k = 0} \\ {x^{2} + 4 y^{2} = 4} \end{array} \right.}$，消去 y 得到$( 4 + k^{2} ) x^{2} + 8 k x = 0$，解得x_{0} = - \frac{8 \mathrm{k}}{4 + \mathrm{k}^{2}} ,$$\therefore | \mathrm{P D} | = \frac{8 \sqrt{\mathrm{k}^{2} + 1}}{4 + \mathrm{k}^{2}} .

∴三角形ABD的面积$\bar{S}_{\triangle} = \frac{1}{2} \vert \mathbb{A} \mathbb{B} \vert \bullet \vert \bar{P} \bar{D} \vert = \frac{\bar{8} \sqrt{4 \mathrm{k}^{2} + 3}}{4 + \mathrm{k}^{2}} .$

$\therefore \mathrm{S = \frac{3 2}{\sqrt{4 \mathrm{k}^{2} + 3} + \frac{1 3}{\sqrt{4 \mathrm{k}^{2} + 3}}}} \leqslant \frac{3 2}{2 \sqrt{\sqrt{4 \mathrm{k}^{2} + 3} \cdot \frac{1 3}{\sqrt{4 \mathrm{k}^{2} + 3}}}} = \frac{1 6 \sqrt{1 3}}{1 3} ,$当且仅当$k = \pm \frac{\sqrt{1 0}}{2}$时取等号，

故所求直线$_{1 1}$的方程为$y = \pm \frac{\sqrt{1 0}}{2} x - 1$