浙江 2019 · 数学 q05

冷启动：先把「谁推谁」写在纸上

题面在 $a>0$、$b>0$ 的前提下问：$p$「$a+b\le 4$」是 $q$「$ab\le 4$」的什么条件。四个选项恰好是 两个方向的四种组合，所以这道题必须把两个方向各判一次：

箭头射出的那一端充分、射入的那一端必要——这句话是本题最容易丢分的地方（A 与 B 只差它）。

先用直觉猜一把，再去证。 和被压住，积能被压住吗？两个正数的和固定时，积在两数相等时最大， 所以「和小」应当能锁住「积小」——猜 $p\Rightarrow q$ 成立。反过来呢？积小完全可以靠「一个很小、 一个很大」来实现（比如 $0.01$ 与 $4$），这时和一点也不小——猜 $q\Rightarrow p$ 不成立。 所以答案八成是「充分不必要」。下面两条路都是把这个猜想坐实。

解法一：按定义两头各判一次

怎么想到的。 这类题的标准动作就是两个方向分开做：一个方向找推理、另一个方向找反例。 找哪一边的反例，取决于哪一边靠不住——由冷启动那把直觉，靠不住的是「$q\Rightarrow p$」。

① 充分性（$p\Rightarrow q$）：基本不等式。 因为 $a>0$、$b>0$，基本不等式可用：

$$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\qquad(\text{等号当且仅当 }a=b).$$

设 $a+b\le 4$，则 $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le 2$。两端都非负，平方保序，得

$$ab\le 4 .$$

于是 $p\Rightarrow q$ 成立，$p$ 是 $q$ 的充分条件。

用到的前提都在题面里：$a>0$、$b>0$（基本不等式的前提，也保证 $\sqrt{ab}$ 有意义）； $\sqrt{ab}\ge 0$ 与 $2>0$（平方保序的前提）。等号能不能取到与这一步无关——这里只用了不等号方向。

② 必要性（$q\Rightarrow p$）：一个点就够。 取 $a=1$、$b=4$（都为正，满足题设）：

$$ab=1\times 4=4\le 4\ (\text{$q$ 真}),\qquad a+b=1+4=5>4\ (\text{$p$ 假}).$$

$q$ 真而 $p$ 假，所以 $q\nRightarrow p$，$p$ 不是 $q$ 的必要条件。

反例的方向千万别搞反：要否掉「$q\Rightarrow p$」，必须让前面那个（$q$）真、后面那个（$p$）假。 拿一个「$p$ 真 $q$ 假」的点来是在否「$p\Rightarrow q$」——而那种点本题根本不存在（① 已经证了）。

③ 对号入座。 充分性成立、必要性不成立 $\Rightarrow$ $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，选 A。

④ 顺手看一眼「有没有等号」会不会翻盘。 本题两个条件都带等号。若把它们同时换成严格不等式， 结论不变：$a+b<4$ 时 $ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}<4$，充分性照旧；而 $a=1$、$b=4$ 换成 $a=1$、$b=3.9$（$ab=3.9<4$、$a+b=4.9>4$）仍是反例。这道题的分歧不在边界上，在方向上。

解法二：画成两块地，看谁装得下谁

怎么想到的。 「谁充分谁必要」是最容易说反的一对词，而集合包含看得见：把两个条件各自的 解集画出来，问题就变成「哪块地装在哪块地里」。$p\Rightarrow q$ 与 $A\subseteq B$ 是同一件事—— $p$ 的每个解都是 $q$ 的解，正是「小范围推大范围」。

① 两块地各是什么形状。 在 $a>0$、$b>0$ 的第一象限里（两条坐标轴都不含）：

$$A=\{(a,b)\mid a+b\le 4\},\qquad B=\{(a,b)\mid ab\le 4\}.$$

• $A$ 是直线 $a+b=4$ 与两条坐标轴围出的三角形（含斜边），有界：$A$ 里恒有 $a<4$、$b<4$；
• $B$ 是双曲线 $ab=4$ 下方（靠原点那一侧）那一块，无界：$B$ 里有整条曲线 $\left(t,\dfrac4t\right)$（$t>0$），它沿两条坐标轴伸向无穷远。

② 翻译：$p\Rightarrow q\iff A\subseteq B$，$q\Rightarrow p\iff B\subseteq A$。 于是四个选项也翻译成四种包含关系：$A\subsetneq B$ 是「充分不必要」、$B\subsetneq A$ 是 「必要不充分」、$A=B$ 是「充要」、互不包含是「既不充分也不必要」。

③ $A\subseteq B$：三角形整块装在里面。 取 $A$ 里任一点，由基本不等式

$$ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}\le\left(\frac42\right)^{2}=4 ,$$

故它也在 $B$ 里。（换句话说：和固定为 $s$ 时积最大是 $\dfrac{s^{2}}{4}$，而 $s\le 4$ 时 $\dfrac{s^{2}}{4}\le 4$。）

④ $B\subseteq A$ 不可能——这次不必碰运气找反例。 $B$ 无界而 $A$ 有界：沿曲线 $\left(t,\dfrac4t\right)$ 走，$a+b=t+\dfrac4t\to+\infty$（$t\to+\infty$），而 $A$ 里恒有 $a+b\le 4$。 无界的集合装不进有界的集合，所以 $B\subseteq A$ 必假。

要把它落到一个具体点上，随手取 $t=1$ 就是解法一那个 $(1,4)$；取 $t=4$ 得它的对称点 $(4,1)$。 「必要性垮掉」在这条路上是结构性的结论，反例只是它的一个见证。

⑤ 合起来。 $A\subseteq B$ 且 $B\nsubseteq A$，即 $A\subsetneq B$，故 $p$ 是 $q$ 的 充分不必要条件，选 A。顺带把另外三个选项一起排掉：B 与 C 都要求 $B\subseteq A$， 被 ④ 否掉；D 要求 $A\nsubseteq B$，被 ③ 否掉。

两条路差在哪。 解法一按定义走，两个方向各办一次，代价是必须自己找到那个反例—— 考场上找不到就会犹豫「是不是我没想到的推理」。解法二把逻辑换成图形：包含关系一画就看见， 而且必要性垮掉的理由升级成了有界 vs 无界这种一眼的量级差，不依赖找点的运气。 反过来说，解集画不出来（条件里含参数、或不是平面上的点集）时，解法一才是通用的那条。

记一句话版本：条件越强，解集越小；解集小的那个充分。 本题「和 $\le 4$」是把 「积 $\le 4$」那块无界的地砍成一个三角形，砍完的自然更强。

🕳️ 避坑

选项	站不站得住	为什么
A 充分不必要	正确	$A\subsetneq B$：$p\Rightarrow q$ 成立、$q\Rightarrow p$ 不成立
B 必要不充分	方向说反了	两个方向都判对、最后填名字时反过来——这是本题最高频的错法
C 充分必要	少判了一个方向	只验了「和小 $\Rightarrow$ 积小」就收工，没去试 $(1,4)$ 这种「一小一大」的点
D 既不充分也不必要	把充分性也否了	多半是拿 $(1,4)$ 去否充分性——但那个点 $p$ 假，它对「$p\Rightarrow q$」什么也没说

• 基本不等式是「和管积」，不是「积管和」。 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 把积的上界交给和： 和一被压住，积就被压住。反方向没有这样的不等式——积小可以靠一个因子趋于 $0$、另一个趋于 $+\infty$ 来实现，此时和要多大有多大（$t+\dfrac4t\to+\infty$）。
• $a>0$、$b>0$ 不是装饰。 去掉它，连充分性都垮：取 $a=-1$、$b=-10$，则 $a+b=-11\le 4$ 而 $ab=10>4$。基本不等式对负数无效，这一步的前提必须写出来验。
• 反例要「满足前件、违反后件」。 否 $q\Rightarrow p$ 要找 $q$ 真 $p$ 假的点；找一个 两个都假的点（比如 $a=b=5$：$ab=25>4$、$a+b=10>4$）什么也没否掉。
• 「不必要」不等于「无关」。 本题 $p$ 对 $q$ 是真包含关系：$p$ 一成立 $q$ 必成立， 只是 $q$ 成立时 $p$ 可以不成立。这与 D 说的「既不充分也不必要」差得很远。
• 和与积之间只有一半的桥。 记住这条不对称：$a+b$ 有上界 $\Rightarrow ab$ 有上界； 而 $ab$ 有上界推不出 $a+b$ 有上界。 反过来一侧有效的是下界：$ab\ge c>0$ 时 $a+b\ge 2\sqrt{c}$——上界那一侧靠不住，下界那一侧才对得上。

两条路殊途同归：正面判是「基本不等式 $+$ 一个 $(1,4)$」，侧面看是「三角形真包含在双曲线下方那块里」。 故选 A。