柯西不等式

公式

二维形式：对任意实数 $a_1,a_2,b_1,b_2$，

等号成立当且仅当 $a_1b_2=a_2b_1$（即两组数成比例）。

$n$ 维推广：

用法

• 约束下求平方和最值：已知 $\alpha x+\beta y+\gamma z=c$，求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值。把 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 和 $(x,y,z)$ 分别代入两组数，一步得下界。
• 向量形式：$|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2\geq(\vec{u}\cdot\vec{v})^2$，等号 $\iff$ $\vec{u}\parallel\vec{v}$。几何上就是「内积不超过模长之积」。

失手处

• 用完不等式不验等号：下界取不到就不是最小值。必须回代确认等号条件有解。
• 两组数的对应关系搞错：$(a_1,a_2)$ 必须与 $(b_1,b_2)$ 逐位相乘再求和，交叉配对会得到错误的不等式。