浙江 2015 · 数学 q14

冷启动：两个绝对值，只有一个是真的

约束是 $x^{2}+y^{2}\leq 1$——一个闭圆盘（含边界），要求的是

$$f(x,y)=\left|2x+y-2\right|+\left|6-x-3y\right| .$$

两个绝对值看着对称，其实地位完全不同。先分别看它们里面的式子在圆盘上能跑多远。

对圆盘上任意一点，$x^{2}+y^{2}\leq 1$，于是

$$x+3y\leq\sqrt{1^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq\sqrt{10}<4 ,$$

所以 $6-x-3y>6-4=2>0$ 恒成立。第二个绝对值是假的，直接脱掉：

$$f(x,y)=\left|2x+y-2\right|+\left(6-x-3y\right) .$$

第一个就不一样了。$2x+y-2$ 在圆盘上有正有负：圆心 $O$ 到直线 $\ell:2x+y-2=0$ 的距离是

$$d=\frac{\left|2\cdot 0+0-2\right|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.894<1 ,$$

小于半径，所以 $\ell$ 真的割进圆盘里，把它切成两块。这条线就是全题的分界。 把 $\ell$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 联立，$y=2-2x$ 代进去得 $5x^{2}-8x+3=0$， 两根 $x=1$ 与 $x=\dfrac{3}{5}$，交点是

$$(1,0)\qquad\text{与}\qquad A\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) .$$

$A$ 这个点，下面两条路都会各自独立地撞上它。

一个先别踩的坑

「两项都取最小，加起来就是最小」——不成立。 $\left|2x+y-2\right|$ 的最小值是 $0$（整条弦上都取到）， $6-x-3y$ 的最小值是 $6-\sqrt{10}\approx 2.84$（在 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)$ 处）， 两个数加起来是 $2.84<3$。可它们不在同一个点上取到，这个 $2.84$ 够不着。 求和的最值必须整体地求。

解法一：直线把圆盘切成两块，各块平移一次目标直线

这是官方走的路。两个绝对值一个是假的、一个要分区，先把这件事按顺序办清楚。

第一步：验符号，把恒正的那个绝对值脱掉

$\left|6-x-3y\right|$ 要脱成 $6-x-3y$，前提是 $6-x-3y$ 在整个圆盘上不变号。验一下： 由 $x^{2}+y^{2}\leq 1$ 得 $|x|\leq 1$、$|y|\leq 1$，于是

$$6-x-3y\geq 6-|x|-3|y|\geq 6-1-3=2>0 .$$

（换个说法也一样：圆心到直线 $x+3y=6$ 的距离是 $\dfrac{6}{\sqrt{10}}\approx 1.90>1$， 整个圆盘落在这条直线的同一侧。）所以

$$f(x,y)=\left|2x+y-2\right|+\left(6-x-3y\right) .$$

$2x+y-2$ 就没这个待遇了：圆心到 $\ell:2x+y-2=0$ 的距离是 $\dfrac{\left|-2\right|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt5}\approx 0.894<1$， $\ell$ 真的割进圆盘里，两侧符号相反，必须分区。 把 $\ell$ 与 $x^{2}+y^{2}=1$ 联立（$y=2-2x$ 代入得 $5x^{2}-8x+3=0$）， 两个交点是 $(1,0)$ 与 $A\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$。

第二步：分区，把剩下那个绝对值也去掉

$\ell$ 把圆盘分成上下两块（两块都含边界 $\ell$，重叠部分正是那条弦，不影响取最小）：

• 上块（$2x+y-2\geq 0$，即 $\ell$ 上方的那个小弓形）：

  $$f=(2x+y-2)+(6-x-3y)=x-2y+4 ;$$

• 下块（$2x+y-2\leq 0$，剩下的大半个圆盘）：

  $$f=-(2x+y-2)+(6-x-3y)=8-3x-4y .$$

到这里，$f$ 在每一块上都是一次函数了。这正是可行域上求线性最值的标准局面。

第三步：上块——目标直线沿 $(1,-2)$ 的反方向推

在上块上求 $x-2y+4$ 的最小值。令 $c=x-2y$，这是一族斜率为 $\dfrac12$ 的平行线； $c$ 越小，直线沿法向量 $(1,-2)$ 的反方向推得越远。把这族线往那个方向平移， 最后离开这个弓形的位置在哪？

上块的边界只有两段：弦（从 $(1,0)$ 到 $A$）和劣弧。逐段看：

• 在弦上，$y=2-2x$，$c=x-2(2-2x)=5x-4$，$x$ 从 $\dfrac35$ 到 $1$， 所以 $c$ 从 $-1$ 增到 $1$，最小在 $x=\dfrac35$，即 $A$ 处；
• 在劣弧上，$(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$，$c=\cos\theta-2\sin\theta$， $c'=-\sin\theta-2\cos\theta<0$（$\theta$ 在 $\left[0,\arctan\dfrac43\right]$ 上），一路递减， 最小同样落在弧的另一端——还是 $A$。

于是上块的最小值在 $A$ 处取到：$f=\dfrac35-2\cdot\dfrac45+4=3$。

第四步：下块——目标直线推到与圆相切为止

在下块上求 $8-3x-4y$ 的最小值，等价于求 $3x+4y$ 的最大值。 令 $c=3x+4y$，这一族平行线沿法向量 $(3,4)$ 往外推，$c$ 越推越大； 推到再往外就碰不到圆盘的那一刻，就是相切的时候。圆心到 $3x+4y=c$ 的距离

$$\frac{|c|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{|c|}{5}=1\ \Longrightarrow\ c=5 ,$$

切点是 $\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$——又是 $A$。而 $A$ 恰在分界线 $\ell$ 上， 按约定属于下块，所以这个最大值是合法的（这一步千万别省：切点若落在上块内部， 下块的最大值就得退回到弦上重算）。于是下块的最小值是 $8-5=3$。

第五步：合起来

两块的最小值都是 $3$，都在 $A$ 处取到——这不是巧合： $A$ 在分界线上，$2x+y-2=0$，两个分支的表达式在那里本来就相等 （$x-2y+4$ 与 $8-3x-4y$ 差的正好是 $2(2x+y-2)$）。 所以最小值是 $3$，在 $\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$ 处取到。

解法二：用 $|u|\geq -u$ 一步压成一条一次式，再用柯西

分区要写两遍、算两遍。有没有办法一次就把绝对值去掉？有——代价是把等式换成不等式。

第一步：先脱掉恒正的那个，再只留下会用到的那一半

$\left|6-x-3y\right|$ 是假绝对值：由 $x^{2}+y^{2}\leq 1$ 得 $|x|\leq 1$、$|y|\leq 1$， 所以 $6-x-3y\geq 6-1-3=2>0$ 在整个圆盘上恒成立，可以直接脱成 $6-x-3y$。

$\left|2x+y-2\right|$ 就不行了（圆心到 $2x+y-2=0$ 的距离 $\dfrac{2}{\sqrt5}<1$， 这条直线割进圆盘，两侧符号相反）。但求最小值只要下界，不必知道它到底取哪个符号： 对任意实数 $u$，$\left|u\right|=\max(u,-u)$，所以两个方向的放缩都成立：

$$\left|u\right|\geq u ,\qquad \left|u\right|\geq -u .$$

求最小值要的是下界，两个都能用；关键是挑对哪一个。 取 $u=2x+y-2$，用 $\left|u\right|\geq -u$：

$$f=\left|2x+y-2\right|+(6-x-3y)\geq-(2x+y-2)+(6-x-3y)=8-3x-4y .$$

为什么挑 $-u$ 而不是 $u$？因为另一支给的是 $f\geq(2x+y-2)+(6-x-3y)=x-2y+4$， 而 $x-2y+4$ 在圆盘上的最小值是 $4-\sqrt{5}\approx 1.76$，比 $3$ 小——下界太松，卡不住。 这一步不必凭运气：两支各算一遍，取大的那个下界就行。

第二步：一次柯西定死下界

现在只剩一个一次式在圆盘上求最大：

$$3x+4y\leq\sqrt{3^{2}+4^{2}}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 5\cdot 1=5 ,$$

于是

$$f\geq 8-(3x+4y)\geq 8-5=3 .$$

第三步：验等号——这一步不是走过场

到这里只证到「$f$ 不小于 $3$」。要说「最小值是 $3$」，必须找出一个点让沿途每一个不等号都取等。 这一路上一共放缩了三次：

1. $\left|2x+y-2\right|\geq-(2x+y-2)$，取等要 $2x+y-2\leq 0$；
2. 柯西 $3x+4y\leq 5\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，取等要 $(x,y)$ 与 $(3,4)$ 同向，即 $(x,y)=t(3,4)$，$t>0$；
3. $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1$，取等要 $x^{2}+y^{2}=1$。

后两条合起来定死了点：$(x,y)=\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$。 再拿它回去查第一条：

$$2\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-2=\frac{6}{5}+\frac{4}{5}-2=0\leq 0 ,\quad\text{成立。}$$

三个等号能同时成立，下界够得着。所以最小值就是 $3$。

如果第三步没通过呢

那就说明这条捷径失效了——下界 $3$ 只是一个取不到的界，真正的最小值更大， 必须退回解法一分区重算。所以这一步是必答题，不是形式。 本题之所以走得通，是因为切点 $A$ 不偏不倚落在换号线 $2x+y-2=0$ 上 （图①里两条直线交在同一个点，说的就是这件事）——命题人把这个巧合安排好了。 把题面里的 $2$ 改成别的数，这条路多半就断了。

两条路怎么选

考场上先算 $\left|u\right|\geq-u$ 那一支的下界，若一验等号就通过，三行交卷； 一旦等号不相容，立刻切回解法一，不要在放缩上继续加工。

一句话带走

恒正的绝对值直接脱，会变号的那个才要处理；处理的办法要么分区各求一次，要么只留会用到的那一半再验等号。 两条路都会撞上同一个点 $\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$：它既是弦的一端，也是 $3x+4y$ 在单位圆上的切点。