浙江 2021 · 数学 q17

题面

17. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, (\vec{c} \neq \vec{0})$ 满足 $\left|\vec{a}\right| = 1, \left|\vec{b}\right| = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$. 记向量 $\vec{d}$ 在

$\vec{a},\vec{b}$ 方向上的投影分别为x，y， $\vec{d}-\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影为z，则 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的最小值为____.

答案

$\frac{2}{5}$

解析

分析

设 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,2),\vec{c}=(m,n)$ ，由平面向量的知识可得

$2x + y - \sqrt{5}z = 2$，再结合柯西不等式即可得解.

由题意，设 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,2),\vec{c}=(m,n)$ ,

则 $\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=m-2n=0$ ，即m=2n，

又向量 $\vec{d}$ 在 $\vec{a},\vec{b}$ 方向上的投影分别为 $x$ ， $y$ ，所以 $\vec{d} = (x,y)$

所以 $\vec{d} -\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影 $z = \frac{(\vec{d} - \vec{a})\cdot\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{m(x - 1) + ny}{\sqrt{m^2 + n^2}} = \frac{2x - 2 + y}{\pm\sqrt{5}}$

即 $2x + y \mp \sqrt{5}z = 2$ ,

所以 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{10}\left[2^{2} + 1^{2} + \left(\pm \sqrt{5}\right)^{2}\right]\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) \geq \frac{1}{10}\left(2x + y \mp \sqrt{5} z\right)^{2} = \frac{2}{5}$,

当且仅当 $\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{\mp \sqrt{5}} \\ 2x + y \mp \sqrt{5}z = 2 \end{array} \right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l} x = \frac{2}{5} \\ y = \frac{1}{5} \\ z = \mp \frac{\sqrt{5}}{5} \end{array} \right.$ 时，等号成立，

所以 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值为 $\frac{2}{5}$.

故答案为： $\frac{2}{5}$ .

「点睛」关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出

x,y,z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.