浙江 2021 · 数学 q17

这道题在问什么

四个平面向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ 满足一组条件，其中 $\vec{d}$ 是自由的。题目把 $\vec{d}$（及 $\vec{d}-\vec{a}$）在三个方向上的投影记为 $x,y,z$，要求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值。

关键观察：$\vec{a},\vec{b}$ 正交且模长已知，天然构成坐标架；$\vec{c}$ 的方向被 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0$ 锁死。一旦坐标化，$x,y,z$ 之间会浮现一条线性约束，问题就变成「约束下求平方和最小值」——柯西不等式的标准舞台。

解法一：柯西不等式

第一步：建坐标架

$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$——正交、模长确定。取

$$\vec{a}=(1,0),\qquad \vec{b}=(0,2)$$

这不失一般性：正交向量对总可以旋转、缩放成这副样子，而投影、内积都是旋转不变的。

第二步：确定 $\vec{c}$ 的方向

设 $\vec{c}=(m,n)$（$\vec{c}\neq\vec{0}$）。由 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0$：

$$(1,-2)\cdot(m,n)=m-2n=0\quad\Longrightarrow\quad m=2n$$

所以 $\vec{c}=n(2,1)$，方向固定为 $(2,1)$，模长 $|\vec{c}|=|n|\sqrt{5}$。

第三步：用投影定义写出 $x,y,z$

$\vec{d}$ 在 $\vec{a}=(1,0)$ 方向上的投影为 $x$：因为 $\vec{a}$ 是单位向量，

$$x=\vec{d}\cdot\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\vec{d}\cdot(1,0)$$

$\vec{d}$ 在 $\vec{b}=(0,2)$ 方向上的投影为 $y$：$\vec{b}$ 方向的单位向量是 $(0,1)$，

$$y=\vec{d}\cdot\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\vec{d}\cdot(0,1)$$

于是 $\vec{d}=(x,y)$。

$\vec{d}-\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影为 $z$：$\vec{c}$ 方向的单位向量是 $\pm\dfrac{(2,1)}{\sqrt{5}}$，

$$z=(\vec{d}-\vec{a})\cdot\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\frac{(x-1,y)\cdot(2n,n)}{|n|\sqrt{5}}=\frac{n(2x-2+y)}{|n|\sqrt{5}}=\pm\frac{2x+y-2}{\sqrt{5}}$$

第四步：提取线性约束

由上式：

$$\sqrt{5}\,z=\pm(2x+y-2)$$

整理得

$$2x+y\mp\sqrt{5}\,z=2$$

无论 $\vec{c}$ 朝 $(2,1)$ 还是 $(-2,-1)$，约束的形式都是「$(2,1,\mp\sqrt{5})$ 与 $(x,y,z)$ 的内积等于 $2$」。

第五步：柯西不等式求下界

对约束 $2x+y\mp\sqrt{5}\,z=2$ 使用柯西不等式：

$$(2^2+1^2+(\sqrt{5})^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(2x+y\mp\sqrt{5}\,z)^2=4$$ $$10(x^2+y^2+z^2)\geq 4$$ $$x^2+y^2+z^2\geq\frac{2}{5}$$

第六步：验证等号成立

柯西不等式取等条件：$(x,y,z)$ 与 $(2,1,\mp\sqrt{5})$ 成比例，即

$$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{\mp\sqrt{5}}=t$$

代入约束：$2(2t)+t\mp\sqrt{5}(\mp\sqrt{5}\,t)=4t+t+5t=10t=2$，解得 $t=\dfrac{1}{5}$。

$$x=\frac{2}{5},\qquad y=\frac{1}{5},\qquad z=\mp\frac{\sqrt{5}}{5}$$

这组值确实满足约束，等号可以取到。

$$\boxed{x^2+y^2+z^2\text{ 的最小值为 }\frac{2}{5}}$$

回头看：为什么坐标化之后问题就「透明」了

这道题的难点不在计算，而在看出结构：

1. 正交向量对 = 天然坐标架。 $|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=2$、$\vec{a}\perp\vec{b}$ 三个条件不是在描述三个独立的向量，而是在给你建坐标系。一旦把 $\vec{a},\vec{b}$ 放到坐标轴上，「投影」就变成了「坐标分量」。

2. $(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0$ 锁方向不锁长度。 这个条件只决定 $\vec{c}$ 的方向（沿 $(2,1)$），不决定模长。而投影公式里分子分母的 $|n|$ 恰好约掉——$\vec{c}$ 的模长对 $z$ 没有影响，方向才是一切。

3. 线性约束 + 平方和 = 柯西不等式的标准形。 约束 $(2,1,\mp\sqrt{5})\cdot(x,y,z)=2$ 说的是 $(x,y,z)$ 在一个平面上；$x^2+y^2+z^2$ 是到原点的距离平方。柯西不等式一步给出「原点到平面的距离」，几何与代数完全吻合。

避坑

• 投影 $\neq$ 坐标。 $\vec{d}$ 在 $\vec{b}=(0,2)$ 方向上的投影是 $\vec{d}\cdot\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$（除以模长），不是 $\vec{d}\cdot\vec{b}$。本题 $|\vec{a}|=1$ 所以恰好一样，但 $|\vec{b}|=2$ 就不一样了——如果忘记除以 $|\vec{b}|$，会错误地得到 $\vec{d}=(x, y/2)$，后面全错。
• $\vec{c}$ 的方向有 $\pm$ 两种。 $m=2n$ 只锁方向线，不锁朝向。$n>0$ 和 $n<0$ 给出 $\pm$ 两个投影值。好在最终约束里 $\mp\sqrt{5}$ 的符号不影响柯西不等式的结果（平方消号），但推导过程中不能随意丢掉这个 $\pm$。
• 柯西不等式必须验等号。 如果只写 $\geq\dfrac{2}{5}$ 就收工，逻辑上不完整——下界可能取不到。必须回代验证存在 $(x,y,z)$ 使等号成立，才能说「最小值」是 $\dfrac{2}{5}$。