浙江 2010 · 数学 q15

冷启动：先把 $S_{5}S_{6}+15=0$ 翻译成一个方程

题面只给一句话：$S_{5}S_{6}+15=0$。等差数列里一切都由 $a_{1}$ 与 $d$ 决定，所以这句话最终是 $a_{1}$、$d$ 的一个二元方程。用哪个量设元，决定了这个方程有多难看。

写法甲：老老实实用 $a_{1}$

$$S_{5}=5a_{1}+10d,\qquad S_{6}=6a_{1}+15d ,$$ $$S_{5}S_{6}+15=30a_{1}^{2}+135a_{1}d+150d^{2}+15 =15\left(2a_{1}^{2}+9a_{1}d+10d^{2}+1\right) ,$$

于是条件是

$$2a_{1}^{2}+9a_{1}d+10d^{2}+1=0 .$$

三个二次项、一个常数项——能算，但每一步都要小心。

写法乙：用 $S_{5}$ 的中间项 $a_{3}$

奇数个连续项的和 $=$ 项数 $\times$ 中间项：

$$S_{5}=5a_{3} .$$

偶数个的话取中间两项：$S_{6}=3\left(a_{3}+a_{4}\right)=3\left(2a_{3}+d\right)$。于是

$$S_{5}S_{6}+15=15a_{3}\left(2a_{3}+d\right)+15=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad 2a_{3}^{2}+a_{3}d+1=0 .$$

同一个条件，从四项减到三项。 代 $a_{3}=a_{1}+2d$ 回去验一下就知道这两个式子逐项相同：

$$2\left(a_{1}+2d\right)^{2}+\left(a_{1}+2d\right)d+1 =2a_{1}^{2}+9a_{1}d+10d^{2}+1 .$$

题目真正在问什么：一句存在量词

「求 $d$ 的取值范围」的完整意思是：

使得存在实数 $a_{1}$（等价地，存在实数 $a_{3}$）满足上面那个方程的所有 $d$。

$a_{1}$ 是”只要存在就行”的量，$d$ 才是要圈范围的量。认清这一点，三条解法都只是在回答同一个问题：这个方程什么时候有解。

解法一：中间项设元，再把 $d$ 单独解出来

第一步：方程。 冷启动里已经得到

$$2a_{3}^{2}+a_{3}d+1=0 .$$

第二步：$a_{3}\ne0$。 若 $a_{3}=0$，方程成了 $1=0$，不可能。这一句必须写——下一步要除以 $a_{3}$。

第三步：把 $d$ 解出来。 这是本解法的关键动作：方程对 $d$ 是一次的，直接解：

$$a_{3}d=-\left(2a_{3}^{2}+1\right) \qquad\Longrightarrow\qquad -d=2a_{3}+\frac{1}{a_{3}} .$$

问题从”方程有没有解”变成了”这个函数的值域是什么”——而右边是一条标准的对勾函数。

第四步：值域。 记 $\varphi\left(a_{3}\right)=2a_{3}+\dfrac{1}{a_{3}}$。

• $a_{3}>0$ 时，由基本不等式

  $$2a_{3}+\frac{1}{a_{3}}\geqslant2\sqrt{2a_{3}\cdot\frac{1}{a_{3}}}=2\sqrt{2} ,$$

  等号在 $2a_{3}=\dfrac{1}{a_{3}}$ 即 $a_{3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 时取到，这个 $a_{3}$ 是实数、且确实为正，所以 $2\sqrt{2}$ 是真正取得到的最小值；

• $a_{3}<0$ 时，令 $a_{3}=-s$（$s>0$），$\varphi=-\left(2s+\dfrac{1}{s}\right)\leqslant-2\sqrt{2}$，同样取得到。

$\varphi$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续、从 $2\sqrt{2}$ 起可以取遍到 $+\infty$（$a_{3}\to0^{+}$ 时 $\varphi\to+\infty$），故

$$\varphi\ \text{的值域}=\left(-\infty,\,-2\sqrt{2}\right]\cup\left[2\sqrt{2},\,+\infty\right) .$$

第五步：翻回 $d$。 $d=-\varphi\left(a_{3}\right)$，而上面那个范围关于原点对称，取相反数不变：

$$d\in\left(-\infty,\,-2\sqrt{2}\right]\cup\left[2\sqrt{2},\,+\infty\right), \qquad\text{即}\qquad \left|d\right|\geqslant2\sqrt{2} .$$

这条路是”求值域”，不是”解不等式”，所以端点是否落在里面不需要额外判断——值域里有的数就是取得到的数。

解法二：原卷路线——把它看成关于 $a_{1}$ 的二次方程

怎么想到的。 没看出中间项也不要紧：把 $d$ 看成常数、$a_{1}$ 看成未知数，条件就是一个一元二次方程，「存在实数 $a_{1}$」就是「判别式非负」。

第一步：整理成关于 $a_{1}$ 的标准形式。

$$2a_{1}^{2}+9d\cdot a_{1}+\left(10d^{2}+1\right)=0 .$$

二次项系数 $2\ne0$，真的是二次方程（这一句在含参题里要养成习惯）。

第二步：判别式。

$$\Delta=(9d)^{2}-4\cdot2\cdot\left(10d^{2}+1\right) =81d^{2}-80d^{2}-8 =d^{2}-8 .$$

第三步：有实数解的充要条件。 一元二次方程有实根 $\iff\Delta\geqslant0$：

$$d^{2}-8\geqslant0 \qquad\Longrightarrow\qquad \left|d\right|\geqslant2\sqrt{2} .$$

$\Delta=0$ 那一档不能丢。 它对应”两根重合”，方程照样有实数解——只是那个 $a_{1}$ 唯一。教学图②的绿色抛物线画的就是这一档：它和横轴恰好相切，交点只有一个，但交点是实打实存在的。

顺带看一眼那三条抛物线的最低点：把 $a_{1}=-\dfrac{9d}{4}$ 代回，最小值是

$$2\cdot\frac{81d^{2}}{16}-9d\cdot\frac{9d}{4}+10d^{2}+1 =\frac{8-d^{2}}{8}=-\frac{\Delta}{8} ,$$

“最低点在不在横轴下方”与”判别式是不是非负”是同一句话。

解法三：因式分解——它其实是一条双曲线

怎么想到的。 回头看写法甲那个式子：

$$2a_{1}^{2}+9a_{1}d+10d^{2}+1=0 .$$

前三项是关于 $a_{1}$、$d$ 的齐次二次式。它一定能分解成两个一次因式——把它看成关于 $a_{1}$ 的二次式，判别式是 $(9d)^{2}-4\cdot2\cdot10d^{2}=d^{2}$，是个完全平方，所以两个根都是 $d$ 的有理式。动手拆：

$$10d^{2}+9a_{1}d+2a_{1}^{2}=\left(5d+2a_{1}\right)\left(2d+a_{1}\right) .$$

（验算：$10d^{2}+5a_{1}d+4a_{1}d+2a_{1}^{2}$，对。）于是条件变成干净的一句

$$\left(5d+2a_{1}\right)\left(2d+a_{1}\right)=-1 .$$

这是一条双曲线——它的两条渐近线正是 $5d+2a_{1}=0$ 与 $2d+a_{1}=0$。题目问的”$d$ 的取值范围”，就是这条双曲线在 $d$ 轴上的投影。

第一步：换元。 令

$$t=5d+2a_{1}, \qquad\text{则}\qquad 2d+a_{1}=-\frac{1}{t} .$$

$t\ne0$ 是白送的：两个因子的乘积是 $-1$，谁都不可能为零。一个量与它的倒数同时出现，这正是换元的信号。

第二步：把 $d$ 解出来。 这是一个关于 $d$、$a_{1}$ 的线性方程组

$$\begin{cases} 5d+2a_{1}=t,\\[2pt] 2d+a_{1}=-\dfrac{1}{t}, \end{cases}$$

第一式减去第二式的 $2$ 倍就消掉了 $a_{1}$，解得

$$d=t-2\cdot\left(-\frac{1}{t}\right)=t+\frac{2}{t}, \qquad a_{1}=-2t+5\cdot\left(-\frac{1}{t}\right)=-2t-\frac{5}{t} .$$

换元是可逆的，范围不多不少：每一组满足条件的 $(a_{1},d)$ 给出一个 $t\ne0$；反过来每个 $t\ne0$ 由上面两式唯一定出一组 $(d,a_{1})$，而它满足 $t\cdot\left(-\dfrac{1}{t}\right)=-1$，确实是原条件的解。所以 $d$ 的取值范围就是 $t+\dfrac{2}{t}$ 的值域，一个不多一个不少。

第三步：值域。 $d=t+\dfrac{2}{t}$ 又是对勾函数：

• $t>0$：$d\geqslant2\sqrt{t\cdot\dfrac{2}{t}}=2\sqrt{2}$，等号在 $t=\sqrt{2}$ 取到；
• $t<0$：$d\leqslant-2\sqrt{2}$，等号在 $t=-\sqrt{2}$ 取到。

$$\left|d\right|\geqslant2\sqrt{2} .$$

第四步：把取等时的数列写出来。 $t=\sqrt{2}$ 时

$$d=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}, \qquad a_{1}=-2\sqrt{2}-\frac{5}{\sqrt{2}}=-\frac{9\sqrt{2}}{2} .$$

换元这条路直接把端点处的数列交到手上——不用回代，不用解方程。

答案

$$\boxed{\,d>2\sqrt{2}\ \text{或}\ d<-2\sqrt{2}\,}$$

上面这一行是原卷给出的答案，本站【答案】栏照录。 但这道题的端点值得单独说清楚，因为三条解法算出来的都是闭端点。

端点 $d=\pm2\sqrt{2}$ 到底取不取得到

取得到，而且可以把整条数列写出来。取 $d=2\sqrt{2}$，由解法三第四步（或解法二里 $\Delta=0$ 时的 $a_{1}=-\dfrac{9d}{4}$）得

$$a_{1}=-\frac{9\sqrt{2}}{2} .$$

照 $S_{n}$ 的定义一项一项加：

$$S_{5}=5a_{1}+10d=-\frac{45\sqrt{2}}{2}+20\sqrt{2}=-\frac{5\sqrt{2}}{2} ,$$ $$S_{6}=6a_{1}+15d=-27\sqrt{2}+30\sqrt{2}=3\sqrt{2} ,$$ $$S_{5}S_{6}=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot3\sqrt{2}=-\frac{15\cdot2}{2}=-15 \qquad\Longrightarrow\qquad S_{5}S_{6}+15=0\ \checkmark$$

这是一个符合题设的真实数列（$a_{1}=-\frac{9\sqrt{2}}{2}$，公差 $2\sqrt{2}$），所以 $d=2\sqrt{2}$ 属于”$d$ 的取值范围”。$d=-2\sqrt{2}$ 同理（把整条数列取相反数即可）。

错在哪一个符号上

原卷的解析写的是

此方程有解，所以 $\Delta=81d^{2}-8\left(10d^{2}+1\right)>0$

「有解」的充要条件是 $\Delta\geqslant0$，不是 $\Delta>0$。 $\Delta>0$ 说的是”有两个不相等的实根”，而题目只要求”存在实数 $a_{1}$“——一个就够。差的这一步，正好把两个端点丢掉了。

这一条不是本题独有的坑：「方程有实根」与「方程有两个不同实根」是两句不同的话，判别式的写法也就差一个等号。考场上把 $\Delta\geqslant0$ 写成 $\Delta>0$，丢的往往就是选项里那个”是否含端点”的分叉。

所以该怎么写

• 答题：按判别式非负写，答 $\left|d\right|\geqslant2\sqrt{2}$，即 $d\geqslant2\sqrt{2}$ 或 $d\leqslant-2\sqrt{2}$；
• 对答案：若标准答案是开区间，知道差别在哪、差在哪一步，比背下哪个版本重要得多；
• 验算的习惯：凡是端点开闭说不准的题，把端点代回原条件算一遍——像上面那样十行以内就能定案。