存在性化成值域有交

解题套路

1. 认出那个「能取到什么值」的量：把含自变量的一整坨记作 $g(x)$（或换元后的 $m$），先把它的值域算出来。

2. 把要满足的条件写成一个集合 $S$：不等式先脱绝对值、先移项，整理成 $g(x)\in S$ 的样子（$S$ 通常是一个区间）。

3. 翻译：

   $$\exists x\in D,\ g(x)\in S \iff g(D)\cap S\neq\varnothing .$$

4. 两个区间有没有交，看端点：$[p,+\infty)\cap[u,v]\neq\varnothing\iff p\leqslant v$；$(-\infty,p]\cap[u,v]\neq\varnothing\iff p\geqslant u$。参数的约束就是这一个不等式。

与恒成立的对照（同一张图，读法反一次）

记法：存在型只要「碰上一点」，恒成立型要「整个装进去」。

一个标准场景

$\exists m\geqslant 1$，$\lvert am-1\rvert\leqslant\frac{1}{3}$。

• 脱绝对值：$S=\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$；
• 值域：$a>0$ 时 $g(m)=am$ 在 $[1,+\infty)$ 上的值域是 $[a,+\infty)$；
• 有交：$a\leqslant\frac{4}{3}$。$a\leqslant 0$ 时值域落在非正数里，与 $S$ 无交，先排除掉。

于是 $a$ 的最大值是 $\frac{4}{3}$，而且这条路顺手给出了完整范围 $0<a\leqslant\frac{4}{3}$。

为什么比「画图观察」可靠

图象法要求你正确想象含参那条线怎么动，一旦参数的作用理解错（比如把「斜率变大」记成「整条线上移」）就读错。值域有交是纯代数的：算一个值域、脱一次绝对值、比一次端点，每一步都可复核。图留着验算就好。

常见失手

• 值域算错：$m$ 的范围不是 $\mathbf{R}$ 时，$am$ 的值域也不是 $\mathbf{R}$。含参数时还要按 $a$ 的符号分情形。
• 把「有交」写成「包含」：$g(D)\subseteq S$ 是恒成立，条件严得多，答案会偏小。
• 端点开闭搞错：$S$ 的端点能不能取到，决定最后那个不等号带不带等号，而「最大值」这三个字问的正是能不能取到。