浙江 2019 · 数学 q16

题面

16. 已知 $a \in R$，函数 $f(x) = ax^3 - x$，若存在 $t \in R$，使得 $|f(t + 2) - f(t)| \leq \frac{2}{3}$，则实数 $a$ 的最大值是 ____.

17. 已知 $a \in R$，函数 $f(x) = ax^3 - x$，若存在 $t \in R$，使得 $|f(t+2) - f(t)| \leq \frac{2}{3}$，则实数 $a$ 的最大值是 ____。

答案

$a_{\max} = \frac{4}{3}$

解析

分析

本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究 $f(t + 2) - f(t) = 2a\left(3t^2 + 6t + 4\right) - 2$ 入手，令 $m = 3t^2 + 6t + 4 \in[1, +\infty)$，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.

使得 $f(t + 2) - f(t) = a(2\bullet (t + 2)^2 +t(t + 2) + t^2)) - 2 = 2a(3t^2 +6t + 4) - 2,$

使得令 $m = 3t^2 + 6t + 4 \in[1, +\infty)$，则原不等式转化为存在 $m \geq 1$，$|am - 1| \leq \frac{1}{3}$，由折线函数，如图

只需 $a - 1 \leq \frac{1}{3}$，即 $a \leq \frac{4}{3}$，即 $a$ 的最大值是 $\frac{4}{3}$

【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.