浙江 2019 · 数学 q16

冷启动：把三行代数做完，题目就只剩一句话

$f(x)=ax^{3}-x$，问的是：存在 $t$ 使 $\lvert f(t+2)-f(t)\rvert\leqslant\frac{2}{3}$ 时，$a$ 最大能是多少。

第一步是硬算，别绕：

（$(t+2)^{3}=t^{3}+6t^{2}+12t+8$，减掉 $t^{3}$ 就是那三项；一次项 $-x$ 那部分只贡献一个常数 $-2$。$x^{3}$ 与 $x$ 的差分性质完全不同，这也是题目把它们凑在一起的原因。）

第二步是这道题的全部技术含量——给那一坨二次式换个名字，同时把它的取值范围算出来：

而且 $[1,+\infty)$ 里每个值都取得到（$t$ 跑遍 $\mathbf{R}$ 时 $3(t+1)^{2}$ 跑遍 $[0,+\infty)$）。这四个字必须当场写下来：取值范围，它就是后面所有讨论的舞台；当成 $m\in\mathbf{R}$ 的话，$am$ 想取什么值都行，$a$ 就没有上界了。

第三步把绝对值脱掉。原条件 $\lvert 2am-2\rvert\leqslant\frac{2}{3}$ 两边同除 $2$：

于是整道题变成一句话：

存在 $m\geqslant 1$，使 $am$ 落进闭区间 $\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$。

顺手把废案清掉：$a\leqslant 0$ 时 $am\leqslant 0$，$\lvert am-1\rvert\geqslant 1>\frac{1}{3}$，一个 $m$ 都不行。所以必有 $a>0$，下面三条路都在这个前提下走。

解法一：值域有交：$am$ 在 $m\geqslant 1$ 上能取到 $[a,+\infty)$

「存在」这两个字的代数含义只有一条：两个集合有公共点。

左边那个集合是 $am$ 能取到的全部值。$a>0$、$m\in[1,+\infty)$，$am$ 随 $m$ 单调递增，所以

右边那个集合是题目要求的 $\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$。两个区间有交，只需看端点：一个从 $a$ 向右无限延伸的区间，与 $\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]$ 有公共点，当且仅当它的左端点不超过 $\frac{4}{3}$：

于是 $0<a\leqslant\frac{4}{3}$，$a$ 的最大值就是 $\dfrac{4}{3}$ 了。

$a=\frac{4}{3}$ 真的行吗？取 $m=1$，即 $t=-1$，回原式验一遍（这一步别省，它同时验了换元和脱绝对值）：

恰好取等——这正是「最大值」该有的样子：再大一点，$am$ 的最小值 $a$ 就冲出横带的上沿了。

解法二：画图：射线 $y=am\ (m\geqslant 1)$ 的起点高度就是 $a$

官方解析走的是图象法，但它那张图画的是 $y=\lvert am-1\rvert$ 的 V 形。换成上面那张图更省事：横轴 $m$、纵轴 $am$，条件就是「点 $(m,am)$ 落进横带 $\frac{2}{3}\leqslant y\leqslant\frac{4}{3}$」。

$y=am$（$m\geqslant 1$）是一条从 $(1,a)$ 出发、向右上方走的射线，而且

• 它的起点高度恰好就是 $a$ 本身——参数在图上的作用是「把起点抬高或放低」；
• 它只升不降（$a>0$）。

一升不降这件事把讨论压成了一句话：射线能碰到横带，当且仅当起点不高于上沿。起点若已在上沿之上，射线只会越走越高，再也回不来；起点若在带子里，当场就成立；起点若在下沿之下，往右走总会升进带子（因为射线无上界）。三种情形合起来就是

官方那句「只需 $a-1\leqslant\frac{1}{3}$」是怎么来的：它看的是 $g(m)=\lvert am-1\rvert$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最小值。

• 若 $0<a\leqslant 1$，$g$ 的零点 $m=\frac{1}{a}\geqslant 1$ 落在区间里，$\min g=0\leqslant\frac{1}{3}$，无条件成立；
• 若 $a>1$，零点 $\frac{1}{a}<1$ 被挡在区间外，$g$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，$\min g=g(1)=a-1$，于是要 $a-1\leqslant\frac{1}{3}$。

两种情形并起来还是 $a\leqslant\frac{4}{3}$。官方只写了第二种，是因为它只问最大值——但「存在型 $\Leftrightarrow$ 最小值达标」这句话要说出来，否则「只需」二字没有出处。

解法三：参变分离：每个 $m$ 给 $a$ 一个区间，存在型就把它们取并

把 $a$ 单独解出来。对固定的 $m\geqslant 1$（此时 $m>0$，可以放心除）：

于是「存在 $m\geqslant 1$」就是把这些区间并起来：

• 上界：每个区间的右端点是 $\frac{4}{3m}$，它在 $m=1$ 处最大，为 $\frac{4}{3}$。所以并集里的数都不超过 $\frac{4}{3}$。
• 够不够：反过来，给定 $0<a\leqslant\frac{4}{3}$，取 $m=\dfrac{4}{3a}$。由 $a\leqslant\frac{4}{3}$ 得 $m\geqslant 1$ 合法，而 $am=\frac{4}{3}$ 正好落在带子的上沿上。

两头一夹，并集就是 $\left(0,\dfrac{4}{3}\right]$，最大值 $\dfrac{4}{3}$。

这条路最值得记的是那个分水岭：参变分离之后，

「任意 $m\geqslant 1$ 都成立」的话，就得让 $a$ 同时落在所有 $\left[\frac{2}{3m},\frac{4}{3m}\right]$ 里；这些区间随 $m\to+\infty$ 一起收缩到 $0$，交集是空的——同一道题，量词一改就没有解。这就是量词读反的代价。

三条路的分工

考场上写解法一；讲给别人听用解法二；要防自己把量词读反，用解法三。

避坑清单