参变分离

解题套路

1. 分离：把含参式子改写成 $a=\varphi(x)$（求参数的值）或 $a\ge\varphi(x)$、$a\le\varphi(x)$（恒成立求范围），等号一边只剩参数，另一边完全不含参数。
2. 研究 $\varphi$：求 $\varphi'$，定单调区间与极值，算出最大值 / 最小值，再看区间两端的趋势（趋于 $\pm\infty$ 还是趋于某个有限值）。
3. 把水平线滑上去：$a$ 是一条水平线 $y=a$，问题变成它与 $y=\varphi(x)$ 的图象有几个交点——
   • 求「有解 / 有几个解」：数交点；
   • 求「恒成立」：$a\ge\varphi(x)$ 恒成立 $\Longleftrightarrow a\ge\varphi_{\max}$，$a\le\varphi(x)$ 恒成立 $\Longleftrightarrow a\le\varphi_{\min}$。

为什么好用

参数藏在函数里时，讨论要按参数分很多情形（这一段单调、那一段不单调……）；分离之后参数不再影响图象的形状，只影响水平线的高度，于是一次求导、一张图，把参数的所有可能一次看完。它给出的不只是那个答案，还有「参数再大一点会怎样、再小一点会怎样」的完整分布。

注意

• 分离前先确认能除：把 $a\,g(x)\ge h(x)$ 化成 $a\ge\dfrac{h(x)}{g(x)}$，要求 $g(x)>0$；$g$ 可能变号时必须分段，或干脆别分离。
• 分离出的 $\varphi$ 常在区间端点处取不到最值（趋于某个值但达不到），这时不等号能否取等要单独判。
• 分离不动（参数与变量缠在一起，如 $\mathrm{e}^{ax}$）时就别硬来，回到分类讨论。

用在本题

2024 年新课标Ⅰ卷第 13 题：直线 $y=2x+1$ 与曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 相切。把交点条件 $\ln(x+1)+a=2x+1$ 分离成 $a=2x+1-\ln(x+1)=\varphi(x)$，则公共点个数就是水平线 $y=a$ 与 $\varphi$ 图象的交点个数。$\varphi$ 先减后增、最小值 $\varphi\left(-\frac12\right)=\ln 2$、两端趋于 $+\infty$，故恰一个公共点（相切）当且仅当 $a=\ln 2$。