浙江 2014 · 数学 q13

冷启动：要检查的点有无穷多个，真正要算的只有三个

题目说「当 $(x,y)$ 满足那组约束时，$1\le ax+y\le 4$ 恒成立」。字面上这是无穷多个条件—— 区域里每一个点都得满足。但这道题有一个结构上的便宜可占：

目标 $f(x,y)=ax+y$ 是线性的，而约束区域是若干半平面的交、必是凸的。 线性函数在有界凸多边形上的最大、最小值都在顶点取得（定理最优解在可行域顶点）。

所以「整块区域的值都落在 $[1,4]$」和「三个顶点的值都落在 $[1,4]$」是同一件事。 无穷多个条件塌成三个。

先把区域画对

把三条约束解成 $y$ 的上下界：

$$x\ge 1,\qquad y\ge x-1\ (\text{由 } x-y-1\le 0),\qquad y\le \frac{4-x}{2}\ (\text{由 } x+2y-4\le 0).$$

上下界要能并存，须 $x-1\le 2-\dfrac{x}{2}$，即 $x\le 2$。于是 $x\in[1,2]$，区域是一个有界的三角形； 顶点由三条边界两两联立：

「有界」这两个字要专门验一次：无界时最值可能根本不存在，「顶点里最大的那个」就不再是最大值。 这里 $x$ 被夹在 $[1,2]$、$y$ 被夹在两条直线之间，有界。

三个顶点上的目标值一次算清，后面三条路全靠它们：

$$f_A=a,\qquad f_B=2a+1,\qquad f_C=a+\frac{3}{2}.$$

解法一：三个顶点各代一次，三条双向不等式取交

先把「顶点就够」这一步写实。区域里任一点 $P$ 都能写成三个顶点的凸组合

$$P=\lambda_1 A+\lambda_2 B+\lambda_3 C,\qquad \lambda_i\ge 0,\ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1,$$

而 $f$ 线性，于是 $f(P)=\lambda_1 f_A+\lambda_2 f_B+\lambda_3 f_C$——是三个顶点值的加权平均， 必落在 $\left[\min_i f_i,\ \max_i f_i\right]$ 之间。所以

$$\forall P\in D:\ 1\le f(P)\le 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 1\le f_A,f_B,f_C\le 4 .$$

这是一步等价，不是「先挤出一个必要范围、再回头验证够不够」。 代进去：

$$\left\{ \begin{array}{l} 1\le a\le 4\\[2pt] 1\le 2a+1\le 4\\[2pt] 1\le a+\dfrac{3}{2}\le 4 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} a\in[1,4]\\[2pt] a\in\left[0,\dfrac{3}{2}\right]\\[2pt] a\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}\right] \end{array} \right.$$

三段取交：

$$a\in\left[1,\frac{3}{2}\right].$$

回头看哪几条在管事：下界 $a\ge 1$ 只来自 $A$，上界 $a\le\dfrac{3}{2}$ 只来自 $B$， $C$ 给的 $\left[-\dfrac12,\dfrac52\right]$ 把前两条整个包住，一点没用上。 不过这是解完才知道的——事先不代，你不知道哪条会松。

解法二：先把 $a$ 解出来，再对区域里每个点取交

换个次序：先固定点、把 $a$ 解出来，最后再让点跑遍区域。

固定一个 $(x,y)$，$1\le ax+y\le 4$ 是关于 $a$ 的一次不等式。可行域里 $x\ge 1>0$， 按不等式的基本性质里的性质 4（两边同乘、同除以一个正数，不等号不变向），除以 $x$ 不变号：

$$\frac{1-y}{x}\ \le\ a\ \le\ \frac{4-y}{x}.$$

恒成立就是这条对每个点都成立，于是

$$\max_{(x,y)\in D}\frac{1-y}{x}\ \le\ a\ \le\ \min_{(x,y)\in D}\frac{4-y}{x}.$$

这两个函数不再是线性的，但它们有现成的几何身份。把 $\dfrac{c-y}{x}$ 改写一下：

$$\frac{c-y}{x}=-\,\frac{y-c}{x-0},$$

正是点 $(x,y)$ 与定点 $(0,c)$ 连线斜率的相反数。于是

• $\max\dfrac{1-y}{x}$：站在 $(0,1)$ 往区域看，找连线斜率最小的那个点；
• $\min\dfrac{4-y}{x}$：站在 $(0,4)$ 往区域看，找连线斜率最大的那个点。

两个定点都在区域外（它们的横坐标是 $0<1$），三角形从定点看过去张成一个角， 角的两条边各贴着一个顶点——所以极端斜率还是只在顶点上出现，仍然只算三个点：

取第一列的最大值 $1$、第二列的最小值 $\dfrac{3}{2}$：

$$a\in\left[1,\frac{3}{2}\right].$$

这条路的价值在于参数一开始就被拎到了不等式中间：要找的两个数是纯粹的几何量 （两个视角下的极端斜率），完全不含 $a$。目标函数里参数长在分母上、或者约束里也带参数时， 这个次序比解法一抗打得多。

解法三：把最小值、最大值当成 $a$ 的函数画出来

题目要的其实就是两件事：

$$\min_{D}(ax+y)\ge 1\qquad\text{且}\qquad \max_{D}(ax+y)\le 4 .$$

由冷启动那一步，两边都只用看三个顶点：

$$m(a)=\min\left\{a,\ 2a+1,\ a+\tfrac{3}{2}\right\},\qquad M(a)=\max\left\{a,\ 2a+1,\ a+\tfrac{3}{2}\right\}.$$

三条直线两两作差，一次比完：

• $f_C-f_A=\dfrac{3}{2}>0$ 恒成立 $\Rightarrow$ $C$ 永远不当最小值点，$A$ 永远不当最大值点；
• $f_B-f_A=a+1$ $\Rightarrow$ $a>-1$ 时 $A$ 更小；
• $f_B-f_C=a-\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $a>\dfrac{1}{2}$ 时 $B$ 更大，$a<\dfrac{1}{2}$ 时 $C$ 更大。

于是在 $a>-1$ 的范围内

$$m(a)=a,\qquad M(a)= \begin{cases} a+\dfrac{3}{2}, & a\le \dfrac{1}{2},\\[6pt] 2a+1, & a\ge \dfrac{1}{2}. \end{cases}$$

先解下界：$m(a)=a\ge 1$，得 $a\ge 1$。（顺带把 $a\le -1$ 那一支也排掉了：那时 $m(a)=2a+1\le -1<1$。） 既然 $a\ge 1>\dfrac{1}{2}$，上界那一支自动落在 $M(a)=2a+1$ 上：$2a+1\le 4$，得 $a\le\dfrac{3}{2}$。

$$a\in\left[1,\frac{3}{2}\right].$$

这条路顺带补上了原卷【解析 2】漏掉的一步。 那份解析开口就说 「由图分析可知，$a\ge 0$ 且在 $A(1,0)$ 点取得最小值，在 $B(2,1)$ 取得最大值」—— 可 $a$ 还没定，最大值点究竟在 $B$ 还是在 $C$ 本来是不确定的，分界恰在 $a=\dfrac{1}{2}$。 它蒙对了，是因为解出来的 $\left[1,\dfrac{3}{2}\right]$ 整段都在 $a>\dfrac{1}{2}$ 里—— 那是事后才知道的事，不能当事前的理由（见易错点含参目标函数把最优顶点当固定）。

$C$ 什么时候才轮到说话

本题里 $C$ 是陪跑的，但它并非永远不管事。改一个数就能让它开口。

把条件换成 $0\le ax+y\le \dfrac{5}{3}$，同一块区域，同样两步：

• 下界：$m(a)=a\ge 0$；
• 上界：$a\le\dfrac12$ 时 $M(a)=a+\dfrac32\le\dfrac53\iff a\le\dfrac16$； $a\ge\dfrac12$ 时 $M(a)=2a+1\le\dfrac53\iff a\le\dfrac13$，与 $a\ge\dfrac12$ 矛盾，这一支空。

得 $a\in\left[0,\dfrac16\right]$，而这回上界是 $C$ 给的：$a=\dfrac16$ 时 $f_C=\dfrac16+\dfrac32=\dfrac53$ 恰好顶到上限，$f_B=\dfrac43$ 还差得远。

换句话说，「哪个顶点在管事」是 $a$ 与那两个界一起决定的。解法一之所以最稳，正是因为它对这件事完全不关心。

三条路怎么选

• 填空题、只要一个答案 → 解法一。三代一交，不动脑，$4$ 行写完，还是充要的。
• 想说清楚「谁在管事」，或者题目接着问最优点在哪 → 解法三。多花的力气换来一张完整的分段图。
• 参数长在分母上，或者约束里也含参 → 解法二。把参数隔离出来之后，剩下的是一个不含参的几何问题。

三条路都建立在同一句话上：线性目标函数在凸区域上的极端值只在顶点出现。 区别只是「在哪一步用它」。

一句话带走

线性函数在凸多边形上的值是顶点值的加权平均，所以「整块区域夹在 $[1,4]$ 里」 就等于「三个顶点夹在 $[1,4]$ 里」——恒成立塌成三条不等式，交出 $a\in\left[1,\dfrac{3}{2}\right]$； 真正卡住两头的是 $A$ 和 $B$，而谁卡哪一头，得算过才知道，不能看图指定。