浙江 2021 · 数学 q20

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2021 · 数学 q20 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=−94a_{1} = -\frac{9}{4}，且 4Sn+1=3Sn−94S_{n+1} = 3S_{n} - 9.

（1）求数列 {an}\left\{a_{n}\right\} 的通项；

（2）设数列 {bn}\{b_n\} 满足 3bn+(n−4)an=0(n∈N∗)3b_{n} + (n - 4)a_{n} = 0(n\in N^{*}) ，记 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和为 TnT_{n} ，若 Tn≤λbnT_{n}\leq \lambda b_{n} 对任意n∈N∗n\in N^* 恒成立，求实数 λ\lambda 的取值范围.

答案

（1） an=−3⋅(34)na_{n} = -3\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n} ；（2） −3≤λ≤1-3\leq \lambda \leq 1

解析

分析

（1）由 4Sn+1=3Sn−94S_{n + 1} = 3S_n - 9 ，结合 SnS_{n} 与 ana_{n} 的关系，分 n=1,n≥2n = 1, n \geq 2 讨论，得到数列 {an}\{a_{n}\} 为等比数列，即可得出结论；

(2) 由 3bn+(n−4)an=03b_{n} + (n - 4)a_{n} = 0 结合(1)的结论, 利用错位相减法求出 TnT_{n}, Tn≤λbnT_{n} \leq \lambda b_{n} 对任意 n∈N∗n \in N^{*} 恒成立, 分类讨论分离参数 λ\lambda, 转化为 λ\lambda 与关于 nn 的函数的范围关系, 即可求解.

（1）当n=1时， 4(a1+a2)=3a1−94(a_{1}+a_{2})=3a_{1}-9 ，

4a2=94−9=−274,∴a2=−2716,4 a_{2} = \frac{9}{4} - 9 = - \frac{2 7}{4}, \therefore a_{2} = - \frac{2 7}{1 6},

当 n≥2n \geq 2 时，由 4Sn+1=3Sn−94S_{n+1} = 3S_n - 9 ①，

得 4Sn=3Sn−1−94S_{n} = 3S_{n - 1} - 9 ②，①-②得 4an+1=3an4a_{n + 1} = 3a_{n}

a2=−2716≠0,∴an≠0,∴an+1an=34,a_{2} = - \frac{2 7}{1 6} \neq 0, \therefore a_{n} \neq 0, \therefore \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3}{4},

又 a2a1=34,∴{an}\frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{4},\therefore \{a_n\} 是首项为 −94-\frac{9}{4} ，公比为 34\frac{3}{4} 的等比数列，

∴an=−94⋅(34)n−1=−3⋅(34)n;\therefore a_{n} = - \frac{9}{4} \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1} = - 3 \cdot (\frac{3}{4})^{n};

（2）由 3bn+(n−4)an=03b_{n} + (n - 4)a_{n} = 0 ，得 bn=−n−43an=(n−4)(34)nb_{n} = -\frac{n - 4}{3} a_{n} = (n - 4)(\frac{3}{4})^{n}

所以 Tn=−3×34−2×(34)2−1×(34)3+0×(34)4+⋯+(n−4)⋅(34)nT_{n} = -3 \times \frac{3}{4} - 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{2} - 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{3} + 0 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{4} + \cdots + (n - 4) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n} ,

34Tn=−3×(34)2−2×(34)3−1×(34)4+⋯+(n−5)⋅(34)n+(n−4)⋅(34)n+1,\frac{3}{4} T_{n} = - 3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{2} - 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{3} - 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{4} + \dots + (n - 5) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n} + (n - 4) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1},

两式相减得 14Tn=−3×34+(34)2+(34)3+(34)4+⋯(34)n−(n−4)⋅(34)n+1\frac{1}{4} T_n = -3 \times \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^3 + \left(\frac{3}{4}\right)^4 + \cdots \left(\frac{3}{4}\right)^n - (n - 4) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1}

=−94+916[1−(34)n−1]1−34−(n−4)(34)n+1= - \frac{9}{4} + \frac{\frac{9}{1 6} \left[1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1} \right]}{1 - \frac{3}{4}} - (n - 4) \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1}

=−94+94−4(34)n+1−(n−4)⋅(34)n+1=−n⋅(34)n+1,= - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - 4 \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1} - (n - 4) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1} = - n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1},

所以 Tn=−4n⋅(34)n+1T_{n} = -4n\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n + 1}

由 Tn≤λbnT_{n}\leq \lambda b_{n} 得 −4n⋅(34)n+1≤λ(n−4)⋅(34)n-4n\cdot (\frac{3}{4})^{n + 1}\leq \lambda (n - 4)\cdot (\frac{3}{4})^{n} 恒成立，

即 λ(n−4)+3n≥0\lambda(n-4)+3n\geq0 恒成立，

n=4时不等式恒成立;

n<4 时， λ≤−3nn−4=−3−12n−4\lambda\leq-\frac{3n}{n-4}=-3-\frac{12}{n-4} ，得 λ≤1\lambda\leq1 ；

n>4 时， λ≥−3nn−4=−3−12n−4\lambda\geq-\frac{3n}{n-4}=-3-\frac{12}{n-4} ，得 λ≥−3\lambda\geq-3 ；

所以 −3≤λ≤1-3 \leq \lambda \leq 1.

【点睛】易错点点睛：（1）已知 SnS_{n} 求 ana_{n} 不要忽略

n=1 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中

λ(n−4)+3n≥0\lambda(n-4)+3n\geq0 恒成立，要对 n−4=0,n−4>0,n−4<0n-4=0,n-4>0,n-4<0 讨论，还要注意

n-4<0时，分离参数不等式要变号.