浙江 2024 · 数学 q13

冷启动：「也是……的切线」这半句在说什么

假设你刚学完切线方程怎么求。题面是一句绕口的话，拆成两半就清楚了：

• 前半句 「曲线 $y=\mathrm{e}^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线」——切点给死了（就是 $(0,1)$），这条切线是完全确定的一条直线，一步就能算出来，里面没有任何未知量。
• 后半句 「也是曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 的切线」——注意它没说切在哪个点。所以这半句不是「在某点处的切线」，而是「这条直线恰好贴着那条曲线」。切点是未知的，$a$ 也是未知的。

于是整道题的形状是：一条已知直线，一条带参数的曲线，要它们相切，问参数取多少。

⚠️ 「在点 $P$ 处的切线」与「过点 $P$ 的切线」是两句完全不同的话。前者切点就是 $P$；后者只说直线经过 $P$，切点在哪要自己设、自己解。本题前半句是前者（好办），后半句连点都没给（要设切点或换个刻画）。

而 $a$ 在第二条曲线里只起一个作用：把 $y=\ln(x+1)$ 的图象整个上下平移 $a$ 个单位。平移不改变形状、不改变任何一点的切线斜率，只改变高度。心里装着这句话，下面两条路都会好懂很多。

两条路的分歧在于：要不要把那个未知的切点设出来。

解法一：设切点列三条件

怎么想到的。 切点是唯一还没露面的角色。把它设成 $x_0$，「相切」这件事立刻裂成三个可以逐条写下来的等式：斜率相等、切点在曲线上、切点在切线上。这就是处理一切切线问题的通用骨架。

① 先把那条切线算出来。 对 $y=\mathrm{e}^x+x$ 求导（$(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x$，$(x)'=1$）：

$$y'=\mathrm{e}^x+1 .$$

先验一下切点：$x=0$ 时曲线的值是 $\mathrm{e}^0+0=1$，与题给的 $(0,1)$ 对得上。斜率

$$k=y'\bigl|_{x=0}=\mathrm{e}^0+1=2 ,$$

于是切线是 $y-1=2(x-0)$，即

$$y=2x+1 . \tag{$\ell$}$$

② 设第二个切点，用斜率定它。 设 $(\ell)$ 与曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 相切于横坐标 $x_0$ 处（定义域要求 $x_0+1>0$）。对第二条曲线求导——$a$ 是常数，求导后消失；$\ln(x+1)$ 是复合函数，外层 $\ln u$ 的导数 $\dfrac1u$ 乘内层 $(x+1)'=1$：

$$y'=\frac{1}{x+1}.$$

切线斜率必须等于 $(\ell)$ 的斜率 $2$：

$$\frac{1}{x_0+1}=2\;\Longrightarrow\;x_0+1=\frac12\;\Longrightarrow\;x_0=-\frac12 ,$$

而 $x_0+1=\dfrac12>0$，在定义域内，可用。

③ 光斜率相等还不够——再让切点落在这条切线上。 斜率相等只说明「曲线在 $x_0$ 处的切线」与 $(\ell)$ 平行；要它们是同一条，还得让 $x_0$ 处的切点真的在 $(\ell)$ 上。

• 切点的纵坐标（在曲线上）：$\ln\left(-\dfrac12+1\right)+a=\ln\dfrac12+a=a-\ln 2$；
• 同一横坐标处 $(\ell)$ 的纵坐标：$2\times\left(-\dfrac12\right)+1=0$。

两者相等：

$$a-\ln 2=0\;\Longrightarrow\;\boxed{a=\ln 2}.$$

解法二：参变分离数公共点

怎么想到的。 上一条路要设一个未知切点。有没有办法根本不设它？有——把「相切」换成「公共点个数」来看。

注意 $a$ 恰好能被单独拎到等号一边（这就是参变分离）：交点满足

$$\ln(x+1)+a=2x+1\;\Longleftrightarrow\;a=\underbrace{2x+1-\ln(x+1)}_{\textstyle \varphi(x)} ,\qquad x>-1 .$$

于是公共点的个数 $=$ 水平线 $y=a$ 与曲线 $y=\varphi(x)$ 的交点个数——参数从「藏在曲线里」变成了「一条可以上下滑动的水平线」，一眼就能数。

① 同样先算出那条直线。 对 $y=\mathrm{e}^x+x$ 求导得 $y'=\mathrm{e}^x+1$；$x=0$ 处曲线值 $\mathrm{e}^0+0=1$ 与题给的点相符，斜率 $y'(0)=2$，故切线为 $y=2x+1$。

② 摸清 $\varphi$ 的形状。

$$\varphi'(x)=2-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}\qquad(x>-1) .$$

分母 $x+1>0$，所以符号只看分子 $2x+1$：

• $-1<x<-\dfrac12$ 时 $\varphi'<0$，$\varphi$ 递减；
• $x>-\dfrac12$ 时 $\varphi'>0$，$\varphi$ 递增。

$\varphi$ 先减后增，$x=-\dfrac12$ 是唯一的极小值点，也是最小值点：

$$\varphi\left(-\frac12\right)=2\times\left(-\frac12\right)+1-\ln\frac12=0+\ln 2=\ln 2 .$$

再看两端：$x\to-1^+$ 时 $-\ln(x+1)\to+\infty$，$\varphi\to+\infty$；$x\to+\infty$ 时 $2x$ 跑得比 $\ln$ 快，$\varphi\to+\infty$。所以 $\varphi$ 的图象是一条先降后升的光滑曲线，两头翘向 $+\infty$，谷底高度 $\ln 2$。

③ 用水平线 $y=a$ 数交点，读出相切。

恰一个公共点时，那个点必是谷底 $x=-\dfrac12$，而谷底处 $\varphi'=0$，即 $2-\dfrac{1}{x+1}=0$——直线的斜率与曲线的斜率在该点相同，这正是「相切」。

反过来，$a>\ln 2$ 的那两个交点都不是相切：它们的横坐标都不等于 $-\dfrac12$（谷底只有一个），而 $\varphi'$ 只在 $x=-\dfrac12$ 处为零，所以在那两点上曲线的斜率都不等于 $2$，直线是斜着穿过去的。$a<\ln 2$ 时连公共点都没有，更谈不上相切。三种情形穷尽了所有 $a$，故「相切」只能发生在

$$a=\ln 2 .$$

副产品：$\varphi(x)\ge\ln 2$ 对一切 $x>-1$ 成立（这与 $a$ 无关，是 $\varphi$ 自己的性质），也就是 $\ln(x+1)+\ln 2\le 2x+1$ 对一切 $x>-1$ 成立，等号只在 $x=-\dfrac12$ 处取到——切线整条压在曲线上方。解法一算不出这一句。

这两条路差在哪。 解法一把「相切」拆成三个等式，机械、短、考场首选，代价是必须记得第 ③ 步——斜率相等只给平行，不给重合。解法二不设切点，把参数拎到等号一边变成一条可滑动的水平线，多花一次求导与单调性讨论，换来的是整幅位置关系图：不只知道 $a=\ln 2$ 相切，还知道 $a$ 大了会穿两次、小了会脱开，顺带白得一个恒成立不等式。题目若把「相切」改成「有两个公共点」，解法一整条作废，解法二只需把水平线往上挪。

🕳️ 避坑

• 斜率相等 ≠ 是同一条切线。只解出 $x_0=-\dfrac12$ 就写 $a=\ln 2$ 是碰巧对：中间那一步（切点也在直线上）才是定出 $a$ 的方程，缺了它这道题根本没被解。
• 别把 $\ln\dfrac12$ 写成 $\ln 2$。$\ln\dfrac12=-\ln 2$，符号一错，答案就变成 $-\ln 2$。凡是遇到 $\ln$ 里出现分数，先把它翻成负号提到前面。
• 定义域别丢：$\ln(x+1)$ 要求 $x>-1$。解出的 $x_0=-\dfrac12$ 必须回头确认它在定义域内（本题在），否则解出来的是个假切点。
• $a$ 只是上下平移量，它不参与求导。写 $y'=\dfrac{1}{x+1}+a$ 是把常数的导数当成了 $a$ 本身——一个符号错误就让斜率方程整条崩掉。