公切线只对斜率不对截距

公切线类题目的标准写法是「设切点 $x_0$，令 $f'(x_0)=k$」——很多人解出 $x_0$ 就以为收工了。但 $f'(x_0)=k$ 只锁住了方向。

曲线在 $x_0$ 处的切线与给定直线斜率相同，得到的结论是二者平行；平行的直线有无穷多条，它们相差一个纵截距。要它们是同一条，还得补上第二个条件：

而定出参数的，往往正是这被漏掉的第二个条件。 斜率方程通常只用来解切点位置，参数根本不在里面——只写斜率相等，题目其实一步没解。

怎么避免

• 把「相切」拆成两条记牢：$f'(x_0)=k$（切得上）且 $f(x_0)=kx_0+b$（贴得住）。少一条就不是相切。
• 求两条曲线的公切线时同理：斜率相等给一个方程，「两个切点连线的斜率也等于这个公共斜率」（或两条切线截距相等）给第二个方程，两个方程才够解两个未知切点。
• 收尾时做一次反向自检：把解出的参数代回去，画一下或算一下——真相切的话，切点处两边的函数值必须相等。