4.4 对数函数

指数函数 $y = a^x$ 回答的是”经过 $x$ 年，量变成多少”；把它反过来问——“量变成这么多， 经过了多少年”——答案就是这一节的对数函数。课本用碳 14 衰减那个例子说明了 “反过来问”为什么也是一个函数：对每一个含量 $y$，衰减了多久是唯一确定的。

所以这一小节要说清的只有两件事：这个函数是什么，以及它的自变量能取哪些值。 后者（定义域）是本小节全部练习的内容，也是高考里对数题最常见的第一步。

一、定义：把指数函数的两个字母对调

一般地，函数

$y = \log_a x \qquad (a>0 \text{ 且 } a \neq 1)$

叫做对数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域是 $(0, +\infty)$。

它是怎么来的：由 $y = a^x$ 出发，按指数与对数的关系写成 $x = \log_a y$； 这时 $y$ 是自变量、$x$ 是函数值。习惯上总用 $x$ 表示自变量、$y$ 表示函数， 所以把两个字母对调，写成 $y = \log_a x$。

“定义域是 $(0,+\infty)$“不是附加规定，是继承来的：指数函数 $y = a^x$ 的值域 恰好是 $(0,+\infty)$，把它反过来当自变量，能取的就只有这一段。 这也正是”负数和零没有对数”那句话的另一个说法。

要认清什么才是对数函数。定义里的形状卡得很死：

• 系数必须是 $1$：$y = 2\log_3 x$ 不是对数函数（它是对数函数的 $2$ 倍）；
• 真数必须是 $x$ 本身：$y = \log_3 (2x)$、$y = \log_3 x^2$ 都不是对数函数（它们是复合函数）；
• 底数 $a$ 是常数且 $a>0$、$a \neq 1$。

判”是不是对数函数”要按这三条逐条核；但要求定义域时，上面那些复合的写法照样要处理—— 方法见下一节。

二、求定义域：把每一处限制列成不等式，再取交集

这是本小节唯一的技术动作，做法固定：凡是出现下列结构的地方，各写一条不等式，最后取交集。

课本例 1 的两问是最基本的两种：

• $y = \log_3 x^2$：真数是 $x^2$，条件 $x^2 > 0$，即 $x \neq 0$，定义域 $\{x \mid x \neq 0\}$。 注意不是 $x>0$——真数是 $x^2$ 不是 $x$，负的 $x$ 也让 $x^2$ 为正。
• $y = \log_a(4-x)$：条件 $4-x>0$，即 $x<4$，定义域 $\{x \mid x<4\}$。

两处最常见的坑：

1. 把”真数为正”写成”自变量为正”。 真数是整个括号里的式子，不是 $x$。
2. 对数出现在分母上时漏掉”整个对数不为零”。 $y = \frac{1}{\lg x}$ 要同时满足 $x>0$（真数）与 $\lg x \neq 0$（分母），后者给出 $x \neq 1$。两条都要写。

三、两个化简陷阱：$\lg 10^x$ 与 $10^{\lg x}$

这两个式子化简之后都等于 $x$，但它们不是同一个函数，差别全在定义域：

$$y = \lg 10^{x}: \quad 10^x > 0 \text{ 恒成立，定义域 } \mathbf{R}, \quad y = x;$$ $$y = 10^{\lg x}: \quad \text{要用 } \lg x \text{，故 } x>0，\text{定义域 } (0,+\infty), \quad y = x.$$

所以前者的图象是整条直线 $y=x$，后者的图象是这条直线在第一象限的那一段（不含原点）。

结论值得记死：先定义域，后化简。 化简会把限制抹掉——$10^{\lg x}$ 一旦写成 $x$， "$x>0$"就看不见了。所有含对数的函数题，第一步永远是定义域。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 不先求定义域就化简（第三节）。
2. 真数与自变量混为一谈：$\log_a(4-x)$ 的条件是 $4-x>0$，不是 $x>0$。
3. 底数含字母时忘了 $\neq 1$。
4. 对数在分母上时只写真数条件、漏了对数本身不为零。
5. 把 $y = \log_a x^2$ 直接写成 $y = 2\log_a x$。 前者定义域是 $x \neq 0$， 后者是 $x>0$，两者不等价；正确的是 $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$。
6. 认错对数函数：带系数、真数不是 $x$ 的都不是对数函数本身（第一节）。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序。 需要提醒的是：对数函数的图象与单调性在下一小节 §4.4.2 才展开， 下面几道真题用到的性质多数出自那一节，这里点出它们与本节概念的接口。

• 先看 2023 年第 10 题（声压级模型 $L = 20\lg\frac{p}{p_0}$）：它是本节概念最原样的一次出现—— 已知 $L$ 反解 $p$，用的就是”对数函数是指数函数反过来问”这件事。 做这道题的第一步与本节练习完全一样：先确认 $\frac{p}{p_0} > 0$；
• 再看 2025 年第 8 题（比较几个指数式、对数式的大小）：常用手段是取对数后按单调性排序， 接口在”底数决定增减”那一条（§4.4.2）；
• 然后是 2024 年第 13 题（一条直线同时切两条曲线）与 2024 年第 18 题 （中心对称的对数函数三问）：这两道都以 $\ln x$ 型函数为主角， 而每一问的第一步都是定义域——第 18 题的换元与分档讨论尤其如此。 压轴题里丢分最多的从来不是最后一步，是第一步没把 $x$ 的范围写全。

本节课本习题共 3 道，都在第 138 页的「练习」里，逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

第 2 题要求”画出图象”。本站的详解不代画，而是把该画成什么样说清楚 （图象是哪条线、端点取不取得到），并把这道题真正要考的那件事——两个式子化简后相同、 定义域却不同——写出来。

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 138 页）第 1 题

1. 求下列函数的定义域:

(1) $y=\ln(1-x)$ ;

(2) $y=\frac{1}{\lg x};$

(3) $y = \log_7\frac{1}{1 - 3x}$; (4) $y = \log_a|x \mid (a > 0, \text{且} a \neq 1)$.

统一做法：把式子里每一处限制各写成一条不等式，最后取交集。 本题会用到的限制有两种——对数的真数必须为正、分母不能为零。

(1) 唯一的限制是真数为正：

$1 - x > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 1.$

定义域为

$\{x \mid x < 1\}.$

(2) 有两处限制：$\lg x$ 要有意义，真数 $x>0$；又 $\lg x$ 在分母上，故 $\lg x \neq 0$。 由 $\lg x = 0$ 得 $x = 10^0 = 1$，所以 $x \neq 1$。两条取交集：

$x>0 \text{ 且 } x \neq 1.$

定义域为

$\{x \mid x>0 \text{ 且 } x \neq 1\}.$

漏掉第二条是这道题最常见的错法——只写 $x>0$ 会把 $x=1$ 放进来，而那里分母为零。

(3) 真数是整个分式 $\dfrac{1}{1-3x}$，限制是它为正：

$\frac{1}{1-3x} > 0.$

分子是正数 $1$，所以这个分式为正当且仅当分母为正：

$1 - 3x > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < \frac13.$

（$1-3x>0$ 同时保证了分母不为零，不必再写一条。）定义域为

$\left\{x \;\middle|\; x < \frac13\right\}.$

(4) 真数是 $|x|$，限制是 $|x| > 0$。绝对值非负，等于零只在 $x=0$ 处，所以

$|x| > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \neq 0.$

（底数 $a$ 的合法性题目已经给了：$a>0$ 且 $a \neq 1$，不需要再限制 $x$。）定义域为

$\{x \mid x \neq 0\}.$

四小问对照着看：(1) 真数是一次式、(3) 真数是分式、(4) 真数是绝对值—— 限制永远加在”真数这个整体”上，不是加在 $x$ 上；(2) 多了一处分母， 所以多写一条。这就是本节求定义域的全部套路。

练习（第 138 页）第 2 题

2. 画出下列函数的图象：

(1) $y=\lg 10^{x}$ ; (2) $y=10^{\lg x}$ .

这道题的考点不是画图技巧，而是两个式子化简后都等于 $x$，但它们是不同的函数—— 差别在定义域。所以先定义域、后化简。

(1) $y = \lg 10^x$。

定义域：要 $\lg$ 有意义，真数 $10^x > 0$。而指数函数 $10^x$ 对任意实数 $x$ 都取正值， 所以这一条恒成立，没有给出任何限制：定义域是 $\mathbf{R}$。

化简：由 $\log_a a^{\,b} = b$（取 $a=10$、$b=x$），

$y = \lg 10^x = x.$

图象：是整条直线 $y=x$（过原点、斜率为 $1$，向两侧无限延伸），包括第三象限的那一半。

(2) $y = 10^{\lg x}$。

定义域：式子里出现了 $\lg x$，真数必须为正，故 $x>0$。定义域是 $(0,+\infty)$。

化简：由 $a^{\log_a N} = N$（取 $a=10$、$N=x$，这里 $x>0$ 保证了它有意义），

$y = 10^{\lg x} = x.$

图象：是直线 $y=x$ 落在第一象限的那一段射线，从原点出发但不含原点 （$x=0$ 不在定义域里），向右上方无限延伸。画的时候原点处要画成空心点。

两图放在一起就是这道题的答案：解析式化简后一模一样，图象却一条是整条直线、 一条只有一半——因为化简把定义域的限制抹掉了。

结论记死：$\lg 10^x = x$ 对一切实数成立；$10^{\lg x} = x$ 只对 $x>0$ 成立。 凡是含对数的化简，先把定义域写下来再动手。

练习（第 138 页）第 3 题

3. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$，集合 $B = \{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$，下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是 ____。

① $y = 2^x$；② $y = x^2$；③ $y = \log_2 x$；④ $y = 2x$。

答案：①④。

先读清题目要什么。$A = \{1,2,3,4,\dots\}$ 是全体正整数，$B = \{2,4,6,8,10,\dots\}$ 是全体正偶数。 “能建立从 $A$ 到 $B$ 的函数关系”要求：对 $A$ 中的每一个 $x$，按这个表达式算出的 $y$都有意义、且都落在 $B$ 里。所以逐个检验”算得出来吗”与”落在 $B$ 里吗”两件事。

① $y = 2^x$——可以。 对任意正整数 $x$，$2^x$ 都算得出来。又

$2^x = 2 \cdot 2^{x-1},$

而 $x \geqslant 1$ 时 $2^{x-1}$ 是正整数，所以 $2^x$ 是正偶数，落在 $B$ 里。 （逐个看：$x=1,2,3,4,\dots$ 依次给出 $2,4,8,16,\dots$，都在 $B$ 中。）

② $y = x^2$——不可以。 取 $x = 1 \in A$，得 $y = 1$，而 $1$ 是奇数、不在 $B$ 里。 一个反例就够。

③ $y = \log_2 x$——不可以。 取 $x = 1 \in A$，得 $y = \log_2 1 = 0$，而 $0 \notin B$。 （再取 $x=3$，$\log_2 3$ 连整数都不是，更不在 $B$ 里。）

④ $y = 2x$——可以。 对任意正整数 $x$，$2x$ 是正偶数，落在 $B$ 里。 （逐个看：$x=1,2,3,\dots$ 依次给出 $2,4,6,\dots$，正好把 $B$ 取遍。）

所以能建立从 $A$ 到 $B$ 的函数关系的是①和④。

这道题真正在考什么：函数不只看解析式，还要看定义域里的每一个值算出来是否落在指定的集合里。 ①与④的差别也值得一提——④把 $B$ 取遍了（每个正偶数都有原像）， ①只取到 $2$ 的正整数次幂（$6$ 就没有原像），但题目只要求”算出来落在 $B$ 里”， 不要求取遍，所以两者都合格。