4.4 对数函数

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4.4 对数函数

在 4.2 节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题。对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究。

4.4.1 对数函数的概念

思考

在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量 $y$ 随死亡时间$x$ 的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间 $x$ 是碳14的含量 $y$ 的函数吗？

根据指数与对数的关系，由 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}} (x \geqslant 0)$ 得到 $x = \log_{\sqrt[5]{\frac{1}{2}}} y$ ($0 < y \leqslant 1$)。如图4.4-1，过 $y$ 轴正半轴上任意一点 $(0, y_0)$ ($0 < y_0 \leqslant 1$) 作 $x$ 轴的平行线，与 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}} (x \geqslant 0)$ 的图象有且只有一个交点 $(x_0, y_0)$。这就说明，对于任意一个 $y \in (0, 1]$，通过对应关系 $x = \log_{\sqrt[5]{\frac{1}{2}}} y$，在 $[0, +\infty)$ 上

都有唯一确定的数 $x$ 和它对应，所以 $x$ 也是 $y$ 的函数。也就是说，函数 $x = \log_{5\frac{730}{\sqrt{\frac{1}{2}}}}y$，$y \in (0, 1]$ 刻画了时间 $x$ 随碳14含量 $y$ 的衰减而变化的规律。

同样地，根据指数与对数的关系，由 $y = a^x (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$ 可以得到 $x = \log_a y (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$，$x$ 也是 $y$ 的函数。通常，我们用 $x$ 表示自变量，$y$ 表示函数。为此，将 $x = \log_a y (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$ 中的字母 $x$ 和 $y$ 对调，写成 $y = \log_a x (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$。

一般地，函数 $y = \log_a x (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$ 叫做对数函数（logarithmic function），其中 $x$ 是自变量，定义域是 $(0, +\infty)$.

例 1 求下列函数的定义域:

(1) $y=\log_{3}x^{2}$;

(2) $y = \log_a(4 - x)$ ($a > 0$, 且 $a \neq 1$).

解：（1）因为 $x^{2} > 0$ ，即 $x\neq 0$ ，所以函数 $y = \log_3x^2$ 的定义域是

$\{x \mid x \neq 0 \}.$

(2) 因为 4-x>0，即 x<4，所以函数 $y=\log_{a}(4-x)$ 的定义域是

$\{x \mid x < 4 \}.$

例 2 假设某地初始物价为 1，每年以 5% 的增长率递增，经过 t 年后的物价为 w.

(1) 该地的物价经过几年后会翻一番?

(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.

解：（1）由题意可知，经过 $t$ 年后物价 $\omega$ 为

$w = (1 + 5 \%) ^ {t}, \text {即} w = 1. 0 5 ^ {t} (t \in [ 0, + \infty)).$

由对数与指数间的关系，可得

$t = \log_ {1. 0 5} w, w \in [ 1, + \infty).$

由计算工具可得，当 $\omega=2$ 时， $t\approx14$ .

所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.

(2) 根据函数 $t=\log_{1.05}w,\quad w\in[1,+\infty)$ ，利用计算工具，可得下表：

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.

练习

1. 求下列函数的定义域:

(1) $y=\ln(1-x)$ ;

(2) $y=\frac{1}{\lg x};$

(3) $y = \log_7\frac{1}{1 - 3x}$; (4) $y = \log_a|x \mid (a > 0, \text{且} a \neq 1)$.

2. 画出下列函数的图象： (1) $y=\lg 10^{x}$ ; (2) $y=10^{\lg x}$ .

3. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$，集合 $B = \{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$，下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是 ____。 ① $y = 2^x$；② $y = x^2$；③ $y = \log_2 x$；④ $y = 2x$。