4.4.2 对数函数的图象和性质

这一节是 4.2.2 的”镜面翻版”：研究方法一字不改——画图象，从图象读性质；成果也是一张性质表（表 4.4-2）。不同的只是图象的形状、以及底数影响方向的那条结论正好反着。除此之外，本节还第一次正式给出反函数：指数函数与对数函数互为反函数，定义域与值域互换。

学完这一节，你要能：画出 $y = \log_a x$ 的草图（过 $(1,0)$、贴 $y$ 轴、增减方向）、背出两类底数的性质表、用对数单调性比较大小（含字母底分类讨论）、看懂”互为反函数”的定义域值域互换。

一、y=log2x 的图象：与指数函数完全平行的研究路径

先画最简单的 $y = \log_2 x$：列表（表 4.4-1）→ 描点 → 光滑连线（图 4.4-2）。图象是：过 $(1, 0)$、只在一、四象限、从左到右上升但越来越平缓、右端无限贴近 $x$ 轴却永不相交（$x$ 轴是水平渐近线），而左端贴近 $y$ 轴（$y$ 轴是竖直渐近线，$x$ 越接近 0 曲线越往下扎）。

与指数函数 $y = 2^x$ 的图象对照着记：$y = 2^x$ 过 $(0,1)$、贴 $x$ 轴、越来越陡；$y = \log_2 x$ 过 $(1,0)$、贴 $y$ 轴、越来越平缓。它俩互为反函数（第六节），图象关于直线 $y = x$ 对称。

二、底数互为倒数：关于 x 轴对称

思考问：指数函数里”底数互为倒数 → 图象关于 $y$ 轴对称”（4.2.2 第一节），对数函数有没有类似的对称关系？

关键变形用换底公式（4.3.2）：

$$y = \log_{\frac12} x = -\log_2 x.$$

点 $(x, y)$ 与点 $(x, -y)$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $y = \log_2 x$ 图象上任一点关于 $x$ 轴的对称点都在 $y = \log_{\frac12} x$ 的图象上，反之亦然。结论：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 $x$ 轴对称（图 4.4-3）。

这里是本节最容易被考倒的地方——两个对称方向对照着记：

三、表 4.4-2：一张表装下全部性质

第二个探究：选若干个不同的底数 $a$ 画图（图 4.4-4），发现图象按 $a$ 分成两类——$0 < a < 1$ 与 $a > 1$。性质也分两类：

与指数函数表（表 4.2-3）一条条对：定义域、值域正好对调（指数 $y = a^x$ 定义域 $\mathbf{R}$、值域 $(0,+\infty)$；对数 $y = \log_a x$ 定义域 $(0,+\infty)$、值域 $\mathbf{R}$），定点 $(1,0)$ 对 $(0,1)$，渐近线 $y$ 轴对 $x$ 轴——这就是”互为反函数”在表格层面的全部含义。

几条”共性”是判断与应用的基石：

1. 任何对数函数都过 $(1, 0)$——$\log_a 1 = 0$，画图先点这个点；
2. 定义域恒为 $(0, +\infty)$——图象永远在 $y$ 轴右侧，$y$ 轴是渐近线；
3. 单调性由底数唯一决定——$a > 1$ 增、$0 < a < 1$ 减，方向与指数函数相反（指数是 $a > 1$ 增），别记反。

四、例 3：比较对数大小——同底看单调性，字母底分类讨论

例 3 的 (1)(2) 是”同底不同真数”——两个值都是同一个对数函数的函数值，直接用单调性：

1. 底 $> 1$：$\log_2 3.4$ 与 $\log_2 8.5$ 是 $y = \log_2 x$ 的函数值。$2 > 1$ 增，$3.4 < 8.5$，所以 $\log_2 3.4 < \log_2 8.5$；
2. 底 $< 1$：$\log_{0.3} 1.8$ 与 $\log_{0.3} 2.7$ 是 $y = \log_{0.3} x$ 的函数值。$0 < 0.3 < 1$ 减，$1.8 < 2.7$，所以 $\log_{0.3} 1.8 > \log_{0.3} 2.7$（减函数方向反转！）；
3. 字母底：$\log_a 5.1$ 与 $\log_a 5.9$，$a$ 不知道在哪一边——分类讨论：$a > 1$ 时增，$\log_a 5.1 < \log_a 5.9$；$0 < a < 1$ 时减，$\log_a 5.1 > \log_a 5.9$。

与指数比大小（4.2.2 例 3）的套路完全平行：先看底数在哪一边定单调性方向，再看真数大小。字母底一律先分类。

五、例 4：pH——对数函数下的”越浓越酸”

溶液酸碱度由公式

$$\mathrm{pH} = -\lg [\mathrm{H}^+]$$

计量（$[\mathrm{H}^+]$ 是氢离子浓度，单位摩尔/升）。先做一个变形：

$$\mathrm{pH} = -\lg [\mathrm{H}^+] = \lg \frac{1}{[\mathrm{H}^+]}.$$

在 $(0, +\infty)$ 上，$[\mathrm{H}^+]$ 增大 → $\frac{1}{[\mathrm{H}^+]}$ 减小 → $\lg\frac{1}{[\mathrm{H}^+]}$ 减小（底 $10 > 1$，$\lg$ 是增函数，减的是真数）→ pH 减小。所以结论是：氢离子浓度越大，pH 越小，酸性越强。

计算两个数：纯净水 $[\mathrm{H}^+] = 10^{-7}$，$\mathrm{pH} = -\lg 10^{-7} = 7$；胃酸 $[\mathrm{H}^+] = 2.5 \times 10^{-2}$，$\mathrm{pH} = -\lg(2.5 \times 10^{-2}) = 2 - \lg 2.5 \approx 2 - 0.398 = 1.602 \approx 1.6$。

“越大越酸、pH 越小”是反直觉点——浓度和 pH 反向变化，靠的是 $\lg$ 的增函数性质把”倒数减小”翻译成”pH 减小”。

六、反函数：指数与对数互为反函数

课本用碳 14 的例子走了一遍完整流程。衰减模型是 $y = \left(\frac12\right)^{\frac{x}{5730}}$（$x \geqslant 0$），由指数与对数的关系反解出 $x$：

$$x = \log_{\left(\frac12\right)^{\frac{1}{5730}}} y \quad (0 < y \leqslant 1).$$

这里 $y$ 是自变量、$x$ 是函数值。习惯上总用 $x$ 表示自变量、$y$ 表示函数，于是对调字母：$y = \log_{\left(\frac12\right)^{\frac{1}{5730}}} x$。这时两个函数互为反函数，并且——

定义域与值域正好互换：$y = \left(\frac12\right)^{\frac{x}{5730}}$ 的定义域 $[0, +\infty)$ 是反函数的值域，值域 $(0, 1]$ 是反函数的定义域。

一般结论（本节第二段探究）：指数函数 $y = a^x$ 与对数函数 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。 图象层面，互为反函数的两个函数图象关于直线 $y = x$ 对称（“探究与发现”里的结论，课外探究，但考试会用）。判断”互为反函数”最实用的办法就是这一条：指数函数的定义域是 $\mathbf{R}$，所以它的反函数（对数函数）值域是 $\mathbf{R}$；指数函数的值域是 $(0, +\infty)$，所以它的反函数定义域是 $(0, +\infty)$。

七、习题里的模型应用

练习第 3 题是增长率模型与对数的第一次结合：去年 GDP 3 000 亿元、年增 6.8%，则

$$y = 3000(1 + 6.8\%)^x = 3000 \times 1.068^x \quad (x = 0, 1, \ldots, 5).$$

问何时达到 3 900 亿元，就是解指数方程：$1.068^x = 1.3$，两边取对数

$$x = \log_{1.068} 1.3 = \frac{\ln 1.3}{\ln 1.068} \approx \frac{0.2624}{0.0658} \approx 3.99 \approx 4\ (\text{年}).$$

“增长几年到某数”从指数型问题变成对数问题——这是对数函数在应用题里的标准出场方式（4.5.3 函数模型的应用还会系统展开）。

八、易错点

1. 对称方向记混：指数函数”底数互倒 → 关于 $y$ 轴对称”（$y = a^{-x}$）；对数函数”底数互倒 → 关于 $x$ 轴对称”（$\log_{\frac1a} x = -\log_a x$）。两节各考一遍，最容易背串；
2. 单调性方向与指数相反：对数 $a > 1$ 才增（指数 $0 < a < 1$ 才减）——记”过 $(1,0)$ 的增函数底数大”这条特征，比硬背两个表稳；
3. 定义域 $(0, +\infty)$ 别忘：比较大小、化简、求值前先想真数是否为正；$\log_a x$ 的图象永远在 $y$ 轴右侧；
4. 字母底不分类就下结论：$\log_a 5.1$ 与 $\log_a 5.9$ 必须分 $a > 1$ 与 $0 < a < 1$ 两类，答案要写全；
5. pH 的反向关系：“氢离子浓度越大”对应”pH 越小、酸性越强”——浓度与 pH 反向，这是例 4 要说明的事；
6. 拿共有的性质当判据：$\log_{a}1=0$ 对任何合法的底数都成立，所以「图象过 $(1,0)$」是所有对数函数共有的，区分不了底数、也区分不了选项。识图题能刷掉选项的，永远是几张图彼此不同的那几处（这里是升降），不是它们都满足的那几处。
7. 反函数的方向：$y = a^x$ 与 $y = \log_a x$ 互逆，是”定义域值域互换”，不是”x、y 符号互换”；由 $y$ 反解 $x$ 时注意把 $y$ 的取值范围（原函数的值域）一并带过来。

九、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节的方法在高考里高频出现：

• 对数（指数）比较大小是新课标卷小题常客（4.4 的讲解里 2025 年第 8 题即此型）——工具就是例 3 的三个套路：同底看单调性、借 1 或借 $y$ 轴搭桥、字母底分类；
• 对数函数图象识别（过 $(1,0)$、$y$ 轴渐近线、单调性与底数关系）以图象选择题出现；
• 反函数概念以”定义域值域互换”的形式进入压轴题的第一步（2024 年第 18 题即以 $\ln x$ 型函数为主角）；
• pH、声压级这类 $\lg$ 模型题（2023 年第 10 题声压级）考”由值反解变量”——先确认真数为正，再用指数与对数的互逆关系。

清单里最典型的一道是 2014 年浙江第 7 题：在同一直角坐标系中， $f(x)=x^{a}\ (x\geqslant 0)$ 与 $g(x)=\log_{a}x$ 的图象可能是（答案：D）。 它把本节的单调性和 §3.3 幂函数的凹凸拴在同一个字母上：

• 对数那条只提供一条信息——升降：递增 $\Rightarrow a>1$，递减 $\Rightarrow 0<a<1$（本节表 4.4-2 的第一行）；
• 幂函数那条只提供一条信息——凹凸：下凸 $\Rightarrow a>1$，上凸 $\Rightarrow 0<a<1$；
• 两个 $a$ 是同一个，所以两条信息必须指向同一侧，否则那张图不存在。

四张选项图里，一张画的根本不是幂函数（那条从 $(0,1)$ 起步的是指数函数）， 两张是「一处要 $a>1$、另一处要 $0<a<1$」的打架组合，剩下的那张（上凸 $+$ 递减）就是答案。

这道题也是上面第 6 条易错点的活例：四张图的对数曲线都在 $x=1$ 处过 $x$ 轴。 这不是出题人手滑，是 $\log_{a}1=0$ 恒成立——所以「过 $(1,0)$」在这道题里一个选项都刷不掉， 真正能刷的是升降。做识图题前先问「这几张图差在哪」，别急着找自己最熟的那条性质。

十、怎么读这一节

1. 亲手描点画 $y = \log_2 x$，再用对称性画 $y = \log_{\frac12} x$——“底数互为倒数 → 关于 $x$ 轴对称”是本节第一个要背的结论，且务必与 4.2.2 的 $y$ 轴对称对照记；
2. 把表 4.4-2 默写一遍，并排默写表 4.2-3：定义域值域对调、定点 $(1,0)$ 对 $(0,1)$、单调性方向相反——两张表一起记反而好记；
3. 独立重做例 3 三问，重点是把 (3) 的分类讨论写完整（答案要含”$a > 1$ 时…，$0 < a < 1$ 时…”两部分）；
4. 重做例 4：自己推一遍 $\mathrm{pH} = \lg\frac{1}{[\mathrm{H}^+]}$ 的变形，再算胃酸的 pH；
5. 读懂反函数那一段：跟着碳 14 把 $x = \log_{\left(\frac12\right)^{\frac{1}{5730}}} y$ 写一遍，确认”定义域与值域正好互换”指哪两个集合；
6. 做练习第 3 题（GDP）——增长率模型配取对数求解，这是 4.5.3 的前奏。

下一节 4.4.3 不同函数增长的差异：指数、对数、幂函数放到同一个坐标系里比谁涨得快——“对数增长慢”会第一次有直观证据。

本节页面覆盖第 139–142 页，课本习题共 3 道（第 142 页「练习」3 道），逐题全做。第 142 页「探究与发现（互为反函数的两个函数图象间的关系）」是课外探究材料，不属于习题，不在本详解范围。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1. 在同一直角坐标系中画出函数 $y = \log_3 x$ 和 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ 的图象，并说明它们的关系.

由换底公式，$\log_{\frac13} x = \frac{\lg x}{\lg\frac13} = \frac{\lg x}{-\lg 3} = -\log_3 x$。因为点 $(x, y)$ 与点 $(x, -y)$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $y = \log_3 x$ 图象上任意一点 $P(x, y)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_1(x, -y)$ 都在 $y = \log_{\frac13} x$ 的图象上，反之亦然。因此两个函数图象关于 $x$ 轴对称。

画法：先画 $y = \log_3 x$（过 $(1,0)$、第一、四象限、递增且越来越平缓、以 $y$ 轴为竖直渐近线），再作关于 $x$ 轴的对称图形即得 $y = \log_{\frac13} x$。

自检：这是本节”思考”结论的直接应用——底数互为倒数的两个对数函数图象关于 $x$ 轴对称。注意与指数函数（$y = 3^x$ 与 $y = \left(\frac13\right)^x$ 关于 $y$ 轴对称）区分，方向正好相反。

练习 第 2 题

2. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $\lg 0.6, \lg 0.8;$ (2) $\log_{0.5}6, \log_{0.5}4;$ (3) $\log_{m}5, \log_{m}7.$

(1) 同底不同真数——用对数函数单调性：$y = \lg x$ 的底 $10 > 1$，是增函数。因为 $0.6 < 0.8$，所以

$$\lg 0.6 < \lg 0.8.$$

(2) 底 $0.5 < 1$，$y = \log_{0.5} x$ 是减函数。因为 $6 > 4$，减函数自变量大的函数值反而小，所以

$$\log_{0.5} 6 < \log_{0.5} 4.$$

(3) 底数 $m$ 是字母，不知道在哪一边——分类讨论：

• 当 $m > 1$ 时，$y = \log_m x$ 是增函数，$5 < 7$，所以 $\log_m 5 < \log_m 7$；
• 当 $0 < m < 1$ 时，$y = \log_m x$ 是减函数，$5 < 7$，所以 $\log_m 5 > \log_m 7$。

自检：与 4.2.2 练习第 2 题的套路一一对应——同底用单调性（底 $> 1$ 同向、$0 < 底 < 1$ 反向），字母底分类讨论、答案必须写全两类。顺带验证 (1)(2) 的数值：$\lg 0.6 \approx -0.222$、$\lg 0.8 \approx -0.097$；$\log_{0.5} 6 \approx -2.585$、$\log_{0.5} 4 = -2$，方向都对。

练习 第 3 题

3. 某地去年的 GDP（国内生产总值）为 3 000 亿元人民币，预计未来 5 年的平均增长率为 6.8%.

（1）设经过 $x$ 年达到的年GDP为 $y$ 亿元，试写出未来5年内，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2) 经过几年该地 GDP 能达到 3 900 亿元人民币?

(1) 每年 GDP 变为上一年的 $1 + 6.8\%$ 倍，所以经过 $x$ 年：

$$y = 3000 \times (1 + 6.8\%)^{x} = 3000 \times 1.068^{x} \quad (0 < x \le 5).$$

$x$ 的范围来自实际背景，两头都要交代：「未来」把 $x=0$ 排除在外（$x=0$ 给 $y=3000$，那是去年已经发生的产值，不是未来的），「5 年内」给出上界 $x\le 5$。第 (2) 问要在这个范围里解方程，所以这里把 $x$ 取成连续变量（增长按整年计息、年内按比例折算，是本节例 2「物价经过几年翻一番」用的同一套口径）；若把 $x$ 限成整数 $1,2,3,4,5$，第 (2) 问就得改问「第几年首次超过」，见下面 (2) 末尾那一段。

(2) 令 $y = 3900$：

$$3000 \times 1.068^{x} = 3900 \quad \Rightarrow \quad 1.068^{x} = 1.3,$$

两边取对数：

$$x = \log_{1.068} 1.3 = \frac{\ln 1.3}{\ln 1.068} \approx \frac{0.2624}{0.0658} \approx 3.99 .$$

$3.99$ 落在 $(0,5]$ 内，符合 (1) 的范围。所以约 4 年该地 GDP 能达到 3 900 亿元人民币。

若按整年口径回答同一问：$1.068>1$ 故 $y$ 随 $x$ 递增，而

$$y(3)=3000\times1.068^{3}\approx 3654.6<3900<3903.1\approx 3000\times1.068^{4}=y(4),$$

所以到第 4 年才首次达到（超过）3 900 亿元。两种口径的答案是同一个「$4$ 年」，只是含义不同：连续口径下 $3.99$ 年就恰好等于 3 900，整年口径下第 4 年末已是 3 903.1（超过而非恰好等于）。

自检：$x\approx3.99$ 与「$y(3)<3900<y(4)$」互相印证——解析解落在 $3$ 与 $4$ 之间且贴近 $4$，正对应整年口径的「第 4 年首次超过」。另外别把 $3.99$ 说成「刚好第 4 年末达到」：$y(4)\approx3903.1$ 比 3 900 多出 3 亿多，恰好等于 3 900 发生在 $x\approx3.99$ 那一刻。这道题是”指数方程 → 取对数求解”的标准示范，4.5.3 函数模型的应用还会系统练习这一套路。