4.4.2 对数函数的图象和性质

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4.4.2 对数函数的图象和性质

与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质.

不妨先画函数 $y=\log_{2}x$ 的图象.

请同学们完成 $x$ ， $y$ 的对应值表4.4-1，并用描点法画出函数 $y = \log_2x$ 的图象（图4.4-2).

思考

我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称。对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 $y = \log_2x$ 和 $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

利用换底公式，可以得到 $y=\log_{\frac{1}{2}}x=-\log_{2}x$ 。因为点 $(x,y)$ 与点 $(x,-y)$ 关于 x 轴对称，所以 $y=\log_{2}x$ 图象上任意一点 $P(x,y)$ 关于 x 轴的对称点 $P_{1}(x,-y)$ 都在 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图象上，反之亦然。由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称。根据这种对称性，就可以利用 $y=\log_{2}x$ 的图象画出 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图象（图 4.4-3）。

为了得到对数函数 $y = \log_a x (a > 0$，且 $a \neq 1$ 的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.

探究

选取底数 $a(a > 0$ ，且 $a\neq 1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数 $y = \log_a x(a > 0$ ，且 $a\neq 1)$ 的值域和性质吗？

如图4.4-4，选取底数 $a$ 的若干值，用计算工具画图，发现对数函数 $y = \log_a x$ 的图象按底数 $a$ 的取值，可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型。因此，对数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究。

一般地，对数函数的图象和性质如表4.4-2所示.

例 3 比较下列各题中两个值的大小:

(1) $\log_{2}3.4$ , $\log_{2}8.5$ ;

(2) $\log_{0.3}1.8,\ \log_{0.3}2.7;$

(3) $\log_{a}5.1$ , $\log_{a}5.9$ (a>0, 且 $a\neq1$ ).

解：（1）$\log_2 3.4$ 和 $\log_2 8.5$ 可看作函数 $y = \log_2 x$ 的两个函数值。因为底数 $2 > 1$，对数函数 $y = \log_2 x$ 是增函数，且 $3.4 < 8.5$，所以

$\log_ {2} 3. 4 < \log_ {2} 8. 5.$

(2) $\log_{0.3} 1.8$ 和 $\log_{0.3} 2.7$ 可看作函数 $y = \log_{0.3} x$ 的两个函数值. 因为底数 $0.3 < 1$, 对数函数 $y = \log_{0.3} x$ 是减函数, 且 $1.8 < 2.7$, 所以

$\log_ {0. 3} 1. 8 > \log_ {0. 3} 2. 7.$

(3) $\log_a 5.1$ 和 $\log_a 5.9$ 可看作函数 $y = \log_a x$ 的两个函数值. 对数函数的单调性取决于底数 $a$ 是大于 1 还是小于 1, 因此需要对底数 $a$ 进行讨论.

当 $a > 1$ 时，因为函数 $y = \log_a x$ 是增函数，且 $5.1 < 5.9$ ，所以

$\log_ {a} 5. 1 < \log_ {a} 5. 9;$

当 $0 < a < 1$ 时，因为函数 $y = \log_a x$ 是减函数，且 $5.1 < 5.9$ ，所以

$\log_ {a} 5. 1 > \log_ {a} 5. 9.$

例 4 溶液酸碱度的测量.

溶液酸碱度是通过 $\mathrm{pH}$ 计量的. $\mathrm{pH}$ 的计算公式为 $\mathrm{pH} = -\lg [\mathrm{H}^{+}]$，其中 $[\mathrm{H}^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（1）根据对数函数性质及上述 $\mathrm{pH}$ 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 $\left[H^{+}\right]=10^{-7}$ 摩尔/升，计算纯净水的 pH.

解：（1）根据对数的运算性质，有

$\mathrm{pH} = - \lg [ \mathrm{H} ^ {+} ] = \lg [ \mathrm{H} ^ {+} ] ^ {- 1} = \lg \frac {1}{[ \mathrm{H} ^ {+} ]}.$

在 $(0, +\infty)$ 上，随着 $[H^{+}]$ 的增大， $\frac{1}{[H^{+}]}$ 减小，相应地， $\lg\frac{1}{[H^{+}]}$ 也减小，即pH减小。所以，随着 $[H^{+}]$ 的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强。

胃酸中氢离子的浓度是 $2.5 \times 10^{-2}$ 摩尔/升，胃酸的 pH 是多少？

(2) 当 $\left[H^{+}\right]=10^{-7}$ 时，pH=- $\lg 10^{-7}=7$ 。所以，纯净水的 pH 是 7 。

前面根据指数与对数间的关系，由 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}} (x \geqslant 0)$ 得 $x = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} y (0 < y \leqslant 1)$. 由函数定义可知 $x = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} y, y \in (0, 1]$ 是一个函数. 这样，由指数函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$ 可得到对数函数 $x = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} y, y \in (0, 1]$，这个对数函数的定义域（0, 1]、值域 $[0, +\infty)$ 分别是指数函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$ 的值域和定义域. 这时就说函数 $x = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} y, y \in (0, 1]$ 是函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$ 的反函数 (inverse function).

通常，我们用 $x$ 表示自变量，$y$ 表示函数。为此，把 $x = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} y$ 写成 $y = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} x$，这样，对数函数 $y = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} x, x \in (0, 1]$ 是指数函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$ 的反函数。同时，指数函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$ 也是对数函数 $y = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} x, x \in (0, 1]$ 的反函数。因此，指数函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$ 与对数函数 $y = \log_{\frac{5730}{\sqrt{1/2}}} x, x \in (0, 1]$ 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。

探究

对于指数函数 $y = 2^{x}$，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？

一般地，指数函数 $y = a^x (a > 0$，且 $a \neq 1$ 与对数函数 $y = \log_a x (a > 0$，且 $a \neq 1$ 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

练习

1. 在同一直角坐标系中画出函数 $y = \log_3 x$ 和 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ 的图象，并说明它们的关系.

2. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $\lg 0.6, \lg 0.8;$ (2) $\log_{0.5}6, \log_{0.5}4;$ (3) $\log_{m}5, \log_{m}7.$

3. 某地去年的 GDP（国内生产总值）为 3 000 亿元人民币，预计未来 5 年的平均增长率为 6.8%.

（1）设经过 $x$ 年达到的年GDP为 $y$ 亿元，试写出未来5年内，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2) 经过几年该地 GDP 能达到 3 900 亿元人民币?

探究与发现

互为反函数的两个函数图象间的关系

我们知道，指数函数 $y=a^{x}(a>0$ ，且 $a\neq1)$ 与对数函数 $y=\log_{a}x(a>0$ ，且 $a\neq1)$ 互为反函数。它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运用所学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！

1. 在同一直角坐标系中，画出指数函数 $y = 2^{x}$ 及其反函数 $y = \log_2 x$ 的图象. 你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？

2. 取 $y = 2^{x}$ 图象上的几个点，如 $P_{1}\left(-1, \frac{1}{2}\right)$，$P_{2}(0, 1)$，$P_{3}(1, 2)$。$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点的坐标是什么？它们在 $y = \log_{2}x$ 的图象上吗？为什么？

3. 如果点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 在函数 $y = 2^{x}$ 的图象上, 那么 $P_{0}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点在函数 $y = \log_{2}x$ 的图象上吗？为什么？

4. 根据上述探究过程，你可以得到什么结论？

5. 上述结论对于指数函数 $y = a^x (a > 0$，且 $a \neq 1)$ 及其反函数 $y = \log_a x (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$ 也成立吗？为什么？