有实根写成判别式严格大于零

易错点

一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\ne0$）：

题目说的若是「存在实数 $x$ 使 ……」「方程有解」「两曲线有公共点」， 要的是 $\Delta\geqslant0$；只有题目明说「有两个不同的解」「交于两点」「有两个零点」时才用 $\Delta>0$。

为什么这一个符号值钱

含参题的答案多半是一个区间，而 $\Delta$ 的正负恰好由参数控制。把 $\geqslant$ 写成 $>$， 区间的端点就整个掉了——填空题里「开端点还是闭端点」常常就是唯一的得分点。

典型的句式对照：

• 「设 $a_{1}$、$d$ 为实数……满足 $S_{5}S_{6}+15=0$，求 $d$ 的取值范围」 ——只要求存在这样的 $a_{1}$，故 $\Delta\geqslant0$；
• 「直线与椭圆交于 $A$、$B$ 两点」——要两个不同交点，故 $\Delta>0$。

怎么防

1. 先把题面的量词念出来：是「存在」还是「存在两个不同的」。
2. 端点单独代回去验一次。$\Delta=0$ 时根是 $x=-\dfrac{b}{2a}$，代回原条件算一遍， 成立就说明端点该取——这一步十行以内，比纠结符号可靠。
3. 写答案时把等号明确写出来（$\left|d\right|\geqslant2\sqrt{2}$ 而不是 $\left|d\right|>2\sqrt{2}$）， 别让阅卷人替你猜。

反向的那一半

反过来也有：题目要「两个不同交点」，却只写了 $\Delta\geqslant0$，把相切那一档混进答案里。 两种错法是同一个毛病的两面——判别式写完先回头看一眼题面要的是几个解。