等差数列改用中间项设元

解题套路

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 公差为 $d$。任取一项 $a_{m}$ 当基准，则

$t$ 可正可负。于是任何一项都能用 $(a_{m},d)$ 表示，$(a_{1},d)$ 只是 $m=1$ 的特例。

1. 挑基准。看条件里出现了哪几项，取它们下标的「中间那个」当 $a_{m}$—— 如果条件是「$a_{p},a_{q},a_{r}$ 成等比」，就取等比中项那一项 $a_{q}$。
2. 两侧展开。把其余各项写成 $a_{m}+td$，$t$ 是下标差。 基准选得好时，这些 $t$ 一正一负、绝对值接近，展开后含 $a_{m}d$ 的项容易并成一项。
3. 解出 $a_{m}$ 与 $d$ 的比。通常得到形如 $\lambda a_{m}d=\mu d^{2}$ 的式子， 约掉 $d\ (\neq 0)$ 就是 $a_{m}=\frac{\mu}{\lambda}d$——一切都用 $d$ 表示。
4. 要什么再回代什么。求 $a_{1}$ 就 $a_{1}=a_{m}-(m-1)d$； 求 $S_{n}$ 就用首末配对 $S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$，两端都已经是 $d$ 的倍数。

为什么这一步值钱

• 齐次化。基准挪到中间之后，最终往往得到「所有量都是 $d$ 的常数倍」， 于是形如 $a_{1}d$、$dS_{n}$ 的乘积一律化成 $(\text{有理数})\times d^{2}$， 符号一眼就定，不必再讨论 $a_{1}$ 的正负。用 $(a_{1},d)$ 起手时得到的是 $a_{1}^{2}$ 的倍数， 效果一样，但中间要多绕一次「$d$ 用 $a_{1}$ 表示」。
• 少算一次展开。以等比中项 $a_{q}$ 为基准写 $a_{q}^{2}=(a_{q}+t_{1}d)(a_{q}+t_{2}d)$ 时， 左边的 $a_{q}^{2}$ 与右边的 $a_{q}^{2}$ 直接对消，只剩一次项与二次项。

注意

• 换基准不改变公差。$d$ 还是原来的 $d$，别跟着一起换符号。
• 下标差要数准。$a_{3}$ 相对 $a_{4}$ 是 $t=-1$，$a_{8}$ 相对 $a_{4}$ 是 $t=+4$； 数错一个，方程整条错。
• 约掉 $d$ 之前必须确认 $d\neq0$。题目没给「公差不为零」时，$d=0$ 是一支必须单独讨论的情形。
• $S_{n}$ 用首末配对更快，但首项仍要算出来。$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$ 里的 $a_{1}$ 得由 $a_{m}$ 回推，别把 $a_{m}$ 直接当首项。