分离出对勾函数看值域

解题套路

形如

的方程，两边同除以 $t$（$t=0$ 显然不是根，因为常数项 $k\neq0$）：

左边是对勾函数，值域由基本不等式一次读出：

所以

与判别式的关系

对这个方程，$\Delta=B^2-4k\ge0$ 与 $|B|\ge2\sqrt k$ 是同一个条件——两条路给同一个门槛。区别在造出来的东西：

• 判别式：一个代数量 $\Delta$，只回答「有没有根」；
• 对勾函数：一条值域，顺带告诉你根落在哪一侧（$B<0$ 时两根为正，$B>0$ 时两根为负），以及等号何时取到（$t=\pm\sqrt k$）。

需要知道根的符号、根的位置时，后者省一步。

用的时候盯住两处

• 常数项必须与 $t^2$ 同号（本式里 $k>0$），才配得成 $t+\dfrac kt$；否则分离出来的是 $t-\dfrac{|k|}{t}$，那是单调的，值域是全体实数，方程恒有解。
• 两支要分开写：$t>0$ 与 $t<0$ 的界一正一负，合起来是 $|B|\ge2\sqrt k$，漏掉一支会把条件写成一半。