2.2 基本不等式

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2.2 基本不等式

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。

前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：

$\forall a, b \in \mathbf{R}$, 有

$a ^ {2} + b ^ {2} \geqslant 2 a b,$

当且仅当 a=b 时，等号成立.

特别地，如果 $a > 0$ ， $b > 0$ ，我们用 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ 分别代替上式中的 $a$ ， $b$ ，可得

\sqrt {a b} \leqslant \frac {a + b}{2},\tag{1}

当且仅当 a=b 时，等号成立.

通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）。其中，$\frac{a + b}{2}$ 叫做正数 $a, b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$ 叫做正数 $a, b$ 的几何平均数。

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

上面通过考察 $a^2 + b^2 \geqslant 2ab$ 的特殊情形获得了基本不等式. 能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.

要证

\sqrt {a b} \leqslant \frac {a + b}{2},\tag{①}

只要证

2 \sqrt {a b} \leqslant a + b.\tag{②}

要证②，只要证

2 \sqrt {a b} - a - b \leqslant 0.\tag{③}

要证③，只要证

- (\sqrt {a} - \sqrt {b}) ^ {2} \leqslant 0.\tag{④}

要证④，只要证

(\sqrt {a} - \sqrt {b}) ^ {2} \geqslant 0.\tag{⑤}

显然，⑤成立，当且仅当 $a = b$ 时，⑤中的等号成立.

只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。

探究

在图 2.2-1 中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，AC = a，BC = b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

如图2.2-1，可证 $\triangle ACD \sim \triangle DCB$ ，因而 $CD = \sqrt{ab}$ 。由于 $CD$ 小于或等于圆的半径，用不等式表示为

$\sqrt {a b} \leqslant \frac {a + b}{2}.$

显然，当且仅当点 $C$ 与圆心重合，即当 $a = b$ 时，上述不等式的等号成立.

例1 已知 $x > 0$ ，求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值.

分析：求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值，就是要求一个 $y_0\left(= x_0 + \frac{1}{x_0}\right)$，使 $\forall x > 0$，都有 $x + \frac{1}{x} \geqslant y_0$。观察 $x + \frac{1}{x}$，发现 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$。联系基本不等式，可以利用正数 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 的算术平均数与几何平均数的关系得到 $y_0 = 2$。

解：因为 $x > 0$ ，所以

$x + \frac {1}{x} \geqslant 2 \sqrt {x \cdot \frac {1}{x}} = 2,$

当且仅当 $x = \frac{1}{x}$，即 $x^{2} = 1$，$x = 1$ 时，等号成立，因此所求的最小值为2.

在本题的解答中，我们不仅明确了 $\forall x > 0$ ，有 $x + \frac{1}{x} \geqslant 2$ ，而且给出了“当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ ，即 $x^2 = 1$ ， $x = 1$ 时，等号成立”，这是为了说明2是 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的一个取值。想一想，当 $y_0 < 2$ 时， $x + \frac{1}{x} \geqslant y_0$ 成立吗？这时能说 $y_0$ 是 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值吗？

例 2 已知 x, y 都是正数，求证：

(1) 如果积 xy 等于定值 P，那么当 x = y 时，和 $x + y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$ ;

(2) 如果和 $x + y$ 等于定值 S，那么当 x = y 时，积 xy 有最大值 $\frac{1}{4} S^{2}$ .

证明：因为 $x, y$ 都是正数，所以

$\frac {x + y}{2} \geqslant \sqrt {x y}.$

(1) 当积 $xy$ 等于定值 $P$ 时，

$\frac {x + y}{2} \geqslant \sqrt {P},$

所以

$x + y \geqslant 2 \sqrt {P},$

当且仅当 $x = y$ 时，上式等号成立。于是，当 $x = y$ 时，和 $x + y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

(2) 当和 $x + y$ 等于定值 S 时，

$\sqrt {x y} \leqslant \frac {S}{2},$

所以

$x y \leqslant \frac {1}{4} S ^ {2},$

当且仅当 $x = y$ 时，上式等号成立. 于是，当 $x = y$ 时，积 $xy$ 有最大值 $\frac{1}{4} S^2$.

练习

1. 已知 $a, b \in \mathbb{R}$, 求证 $ab \leqslant \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$.

2. 已知 $x, y$ 都是正数，且 $x \neq y$，求证：

(1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$; (2) $\frac{2xy}{x + y} < \sqrt{xy}$.

3. 当 $x$ 取什么值时，$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 取得最小值？最小值是多少？

4. 已知 $-1 \leqslant x \leqslant 1$，求 $1 - x^2$ 的最大值.

5. 已知直角三角形的面积等于 $50 \mathrm{~cm}^{2}$, 当两条直角边的长度各为多少时, 两条直角边的和最小? 最小值是多少?

基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具.

例 3 （1）用篱笆围一个面积为 $100 \, m^{2}$ 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

(2) 用一段长为 $36 \mathrm{~m}$ 的篱笆围成一个矩形菜园, 当这个矩形的边长为多少时, 菜园

的面积最大？最大面积是多少？

分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.

(2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的 2 倍, 于是问题转化为: 矩形的邻边之和为定值, 边长多大时面积最大.

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x \mathrm{~m}, y \mathrm{~m}$, 篱笆的长度为 $2(x + y) \mathrm{~m}$.

(1) 由已知得 xy=100.

由

$\frac {x + y}{2} \geqslant \sqrt {x y},$

可得

$x + y \geqslant 2 \sqrt {x y} = 2 0,$

所以

$2 (x + y) \geqslant 4 0,$

当且仅当 x=y=10 时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为 $10 \, m$ 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 $40 \, m$ .

(2) 由已知得 $2(x+y)=36$ ，矩形菜园的面积为 $xy\ m^{2}$ .

由

$\sqrt {x y} \leqslant \frac {x + y}{2} = \frac {1 8}{2} = 9,$

可得

$x y \leqslant 8 1,$

当且仅当 x=y=9 时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为 $9 \, m$ 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是 $81 \, m^{2}$ .

例 4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 $4800 \, m^{3}$ ，深为 3 m。如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

分析：贮水池呈长方体形，它的高是 $3\mathrm{m}$，池底的边长没有确定。如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了。因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低。

解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 $x \mathrm{~m}, y \mathrm{~m}$，水池的总造价为 $z$ 元。根据题意，有

$\begin{array}{r l} z & = 1 5 0 \times \frac {4 8 0 0}{3} + 1 2 0 (2 \times 3 x + 2 \times 3 y) \\ & = 2 4 0 0 0 0 + 7 2 0 (x + y). \end{array}$

由容积为 $4800\mathrm{m}^3$ ，可得

$3 x y = 4 8 0 0,$

因此

$x y = 1 6 0 0.$

所以

$z \geqslant 2 4 0 0 0 0 + 7 2 0 \times 2 \sqrt {x y},$

当 $x = y = 40$ 时，上式等号成立，此时 $z = 297600$

所以，将贮水池的池底设计成边长为 $40\mathrm{m}$ 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.

练习

1. 用 $20 \mathrm{~cm}$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形, 应当怎样折?

2. 用一段长为 $30 \mathrm{~m}$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长 $18 \mathrm{~m}$. 当这个矩形的边长为多少时, 菜园的面积最大? 最大面积是多少?

3. 做一个体积为 $32\mathrm{m}^3$ ，高为 $2\mathrm{m}$ 的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？

4. 已知一个矩形的周长为 $36 \mathrm{~cm}$, 矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 当矩形的边长为多少时, 旋转形成的圆柱的侧面积最大?

习题2.2

复习巩固

1.（1）已知 $x > 1$ ，求 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值；

(2) 求 $\sqrt{x(10-x)}$ 的最大值.

2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

(2) 把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

3. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为 $48\mathrm{m}^2$ ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为 $3\mathrm{m}$ ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

4. 已知 $x, y, z$ 都是正数，求证：$(x + y)(y + z)(z + x) \geqslant 8xyz$.

5. 已知 $x > 0$，求证：$2 - 3x - \frac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 4\sqrt{3}$.

6. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离 $x$ （单位：km）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与 $x$ 成正比；若在距离车站 $10\mathrm{km}$ 处建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为2万元和8万元。这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

拓广探索

7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 $10 \mathrm{~g}$ 黄金, 售货员先将 $5 \mathrm{~g}$ 的砝码放在天平左盘中, 取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡; 再将 $5 \mathrm{~g}$ 的砝码放在天平右盘中, 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡; 最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认为顾客购得的黄金是小于 $10 \mathrm{~g}$, 等于 $10 \mathrm{~g}$, 还是大于 $10 \mathrm{~g}$? 为什么?

8. 设矩形 $ABCD (AB > AD)$ 的周长为 $24 \mathrm{~cm}$, 把 $\triangle ABC$ 沿 $AC$ 向 $\triangle ADC$ 折叠, $AB$ 折过去后交 $DC$ 于点 $P$. 设 $AB = x \mathrm{~cm}$, 求 $\triangle ADP$ 的最大面积及相应 $x$ 的值.