等差数列的前n项和

教材原文

由此得到等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和公式

$$S _ {n} = \frac {n (a _ {1} + a _ {n})}{2}.\tag{1}$$

把等差数列的通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ 代入公式(1)，可得

$$S _ {n} = n a _ {1} + \frac {n (n - 1)}{2} d.\tag{2}$$

公式

两个写法各管什么

第二个写法整理后是 $S_n=\dfrac d2n^2+\left(a_1-\dfrac d2\right)n$——关于 $n$ 的二次函数且常数项为零，$d\ne0$ 时可用二次函数的手段求最值。

失手处

• $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 里是 $n-1$，不是 $n$（$n$ 项之间只有 $n-1$ 个「间隔」）。
• 把 $S_4$ 写成 $4a_1+6d$ 时的 $6$ 就是 $\dfrac{4\times3}{2}$——代具体的 $n$ 之前先把这个系数算清楚。
• 用第一个写法时 $a_n$ 是第 $n$ 项，不是通项里的字母 $n$ 本身。