等差数列的绝对值和

题型说明

• 常见问法：「求 $|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|$」，多出现在解答题的第（Ⅱ）问， 第（Ⅰ）问刚把 $a_n$ 求出来。答案一定是分段的，写成一个大括号。
• 记这个和为 $T_n$，它与前 $n$ 项和 $S_n$ 的关系只有一句话： 正项照抄，负项变号。所以 $T_n$ 与 $S_n$ 只在「已经加进了负项」之后才分家。

三步

1. 定分界点。解 $a_k\ge 0$（$d<0$ 时）或 $a_k\le 0$（$d>0$ 时），得到一个临界下标 $m$： 前 $m$ 项非负、从第 $m+1$ 项起变号。$a_m=0$ 时它归到哪一段都行，两段在这里取同一个值。
2. 前一段：$n\le m$ 时全是非负项，$T_n=S_n$，直接套求和公式。
3. 后一段：$n> m$ 时把负的那一截减两遍—— $T_n=S_n-2\sum_{k=m+1}^{n}a_k=S_n-2(S_n-S_m)=2S_m-S_n .$ 也可以不用 $S_n$，把 $|a_k|$（$k>m$）看成一个新的等差数列从头求和，再加上 $S_m$； 两条路必须得到同一个式子，正好互为验算。

常见陷阱

• 只写了后一段，忘了 $n\le m$ 那一段——分段答案缺一段，按错处理。
• 分界点算错一位：$a_m=0$ 时前 $m$ 项与前 $m-1$ 项的和相同，但「从第几项开始变号」要写对， 否则后一段的 $2S_m$ 就取错了。
• 两段的衔接不验：把 $n=m$ 与 $n=m+1$ 分别代进两段，值必须接得上（见易错点：分段单调漏验分界点）。
• 把 $T_n$ 写成 $|S_n|$：$|a_1|+\cdots+|a_n|$ 与 $|a_1+\cdots+a_n|$ 是两回事， 只有全体同号时才相等。