充分条件

教材原文

一般地，“若 $p$，则 $q$”为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$。这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$，记作

$p \Rightarrow q,$

并且说，p 是 q 的充分条件（sufficient condition），q 是 p 的必要条件 $^{\text{\textcircled{1}}}$ （necessary condition）.

如果“若 $p$，则 $q$”为假命题，那么由条件 $p$ 不能推出结论 $q$，记作 $p \nRightarrow q$。此时，我们就说 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。

要点

• 一句话记住：充分 = 有它就够。有了 $p$，$q$ 一定成立。
• 「$p$ 是 $q$ 的充分条件」与「$p\Rightarrow q$」「若 $p$ 则 $q$ 是真命题」说的是同一件事，三种说法可以随时互换。
• 充分条件不唯一：同一个 $q$ 可以有很多个不同的 $p$ 都推得出它（教材举的例子是平行四边形的每一条判定定理都给出一个充分条件）。
• 要说明 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，只需举一个反例：找到一个满足 $p$ 却不满足 $q$ 的具体对象。
• 判定定理给充分条件，性质定理给必要条件——这是记住两者分工最省事的一句口诀。

集合的说法

把 $p$、$q$ 各自的成立对象收成集合 $A=\{x\mid p(x)\}$、$B=\{x\mid q(x)\}$，则

即「$p$ 是 $q$ 的充分条件」等价于「$A$ 是 $B$ 的子集」。小范围推大范围——这句话把逻辑判断变成了看集合谁装得下谁，是判断充分必要关系最不容易搞反的办法。