浙江 2018 · 数学 q06

转着看 · 换个机位再判断

题设：$n\subset\alpha$、$m\not\subset\alpha$。$m\parallel n$ ⟹ $m$ 与 $n$ 共面、该面交 $\alpha$ 恰好于 $n$ ⟹ $m$ 与 $\alpha$ 无公共点，即 $m\parallel\alpha$（充分）；反过来只要方向躺在 $\alpha$ 里就有 $m_{2}\parallel\alpha$，它完全可以与 $n$ 异面、不平行（不必要）⟹ “$m\parallel n$” 是 “$m\parallel\alpha$” 的充分不必要条件，选 A。充分那侧代码里扫了一圈高度与错开量逐条验；不必要那侧把 $m_{2}$ 验足：躺平、不平行于 $n$、且与 $n$ 异面

机位1题图角度2正对 含 n 的竖面3沿 含 n 的竖面 看4俯视自由视角

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先把要判的两句话钉住

已知平面 $\alpha$、直线 $m$、$n$ 满足 $m\not\subset\alpha$（题面印成 $m\notin\alpha$，意思是 $m$ 不在 $\alpha$ 内）、$n\subset\alpha$。问

$$p:\ m\parallel n \qquad\text{是}\qquad q:\ m\parallel\alpha$$

的什么条件。四个选项就是四种关系：充分不必要 / 必要不充分 / 充要 / 既不充分也不必要。

办法只有一个：两个方向分开判。$p\Rightarrow q$ 成立叫充分，$q\Rightarrow p$ 成立叫必要。

解法一：正向推充分、反例打必要

怎么想到的。 $p\Rightarrow q$ 正好是课本上线面平行的判定定理，不必另发明。$q\Rightarrow p$ 一眼看就太强——平面里的直线多得很，平行于平面并不等于平行于里面指定的那一条。

① 充分性。 已知 $m\not\subset\alpha$、$n\subset\alpha$。若再有 $m\parallel n$，判定定理直接给出 $m\parallel\alpha$。所以 $p\Rightarrow q$，$p$ 是 $q$ 的充分条件。

② 必要性。 要问：有了 $m\parallel\alpha$，能不能保证 $m\parallel n$？不能。反例：取 $\alpha$ 为水平桌面，$m$ 是桌面上方一条与桌面平行的水平线（于是 $m\parallel\alpha$），$n$ 是桌面上与 $m$ 的投影相交的那条线。这时 $n\subset\alpha$、$m\not\subset\alpha$、$m\parallel\alpha$ 全成立，但 $m$ 与 $n$ 不平行（方向不同，延长也不平行）。所以 $q\nRightarrow p$，$p$ 不是 $q$ 的必要条件。

③ 对号。 充分、不必要 $\Rightarrow$ 选 A。

解法二：化成两类谁装得下谁

怎么想到的。 「充分 / 必要」最容易说反。把它换成「谁装得下谁」：满足 $p$ 的对象收成一类 $P$，满足 $q$ 的收成 $Q$，看 $P$ 与 $Q$ 的包含。

在「$m\not\subset\alpha$、$n\subset\alpha$」这个前提下：

• $P=\{\text{还满足 }m\parallel n\text{ 的那些}\}$
• $Q=\{\text{还满足 }m\parallel\alpha\text{ 的那些}\}$

判定定理说 $P\subseteq Q$。反例说存在 $Q$ 里的对象不在 $P$ 里，故 $P\subsetneq Q$。

$P$ 真包含于 $Q$ $\Leftrightarrow$ $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。选 A。

另外三个选项对应的包含关系这里都不成立：$B$、$C$ 都要求 $Q\subseteq P$；$D$ 要求两边互相装不下。