1.4 充分条件与必要条件

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1.4 充分条件与必要条件

在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若 $p$，则 $q$”“如果 $p$，那么 $q$”等形式。其中 $p$ 称为命题的条件，$q$ 称为命题的结论。本节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考察“若 $p$，则 $q$”形式的命题中 $p$ 和 $q$ 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件。

1.4.1 充分条件与必要条件

思考

下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

(3) 若 $x^{2}-4x+3=0$ ，则 x=1;

(4) 若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l，则 $a \parallel b$ .

在命题（1）（4）中，由条件 $p$ 通过推理可以得出结论 $q$ ，所以它们是真命题.在命题（2）（3）中，由条件 $p$ 不能得出结论 $q$ ，所以它们是假命题

一般地，“若 $p$，则 $q$”为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$。这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$，记作

$p \Rightarrow q,$

并且说，p 是 q 的充分条件（sufficient condition），q 是 p 的必要条件 $^{①}$ （necessary condition）.

● ●

①此时，如果 q 不成立，则 p 一定不成立。所以，q 对于 p 成立而言是必要的。请举例说明。

如果“若 $p$，则 $q$”为假命题，那么由条件 $p$ 不能推出结论 $q$，记作 $p \nRightarrow q$。此时，我们就说 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。

上述命题（1）（4）中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必

要条件，而命题（2）（3）中的 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件.

例1 下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些命题中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件？

(1) 若四边形的两组对角分别相等, 则这个四边形是平行四边形;

(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

(3) 若四边形为菱形, 则这个四边形的对角线互相垂直;

(4) 若 $x^{2}=1$ ，则 x=1;

(5) 若 a=b，则 ac=bc；

(6) 若 x, y 为无理数，则 xy 为无理数.

解：（1）这是一条平行四边形的判定定理， $p\Rightarrow q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件.

（2）这是一条相似三角形的判定定理， $p\Rightarrow q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件.

（3）这是一条菱形的性质定理， $p\Rightarrow q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件.

• •

（4）由于 $(-1)^{2}=1$ ，但 $-1\neq1$ ， $p\neq q$ ，所以p不是q的充分条件.

举反例是判断一个命题是假命题的重要方法.

(5) 由等式的性质知， $p \Rightarrow q$ ，所以 p 是 q 的充分条件.

(6) $\sqrt{2}$ 为无理数，但 $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ 为有理数， $p \neq q$ ，所以 p 不是 q 的充分条件.

思考

例 1 中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？

我们说 $p$ 是 $q$ 的充分条件，是指由条件 $p$ 可以推出结论 $q$，但这并不意味着只能由这个条件 $p$ 才能推出结论 $q$。一般来说，对给定结论 $q$，使得 $q$ 成立的条件 $p$ 是不唯一的。例如，我们知道，下列命题均为真命题：

①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；

③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件。

事实上，例1中命题（1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理.所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形。类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”。

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

例2 下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些命题中的 $q$ 是 $p$ 的必要条件？

（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

(2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

(3) 若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形;

(4) 若 x=1，则 $x^{2}=1$ ;

(5) 若 ac = bc，则 a = b；

(6) 若 xy 为无理数，则 x，y 为无理数.

解：（1）这是平行四边形的一条性质定理， $p\Rightarrow q$ ，所以， $q$ 是 $p$ 的必要条件.

(2) 这是三角形相似的一条性质定理， $p \Rightarrow q$ ，所以，q 是 p 的必要条件.

（3）如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， $p\Rightarrow q$ ，所以， $q$ 不是 $p$ 的必要条件.

（4）显然， $p\Rightarrow q$ ，所以， $q$ 是 $p$ 的必要条件.

（5）由于 $(-1)\times0=1\times0$ ，但 $-1\neq1$ ， $p\neq q$ ，所以，q不是p的必要条件.

（6）由于 $1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$ 为无理数，但 $1, \sqrt{2}$ 不全是无理数，$p \neq q$，所以，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。

图1.4-1

一般地，要判断“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中 $q$ 是否为 $p$ 的必要条件，只需判断是否有“$p \Rightarrow q$”，即“若 $p$ ，则 $q$ ”是否为真命题.

思考

例 2 中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”。这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？

我们说 $q$ 是 $p$ 的必要条件，是指以 $p$ 为条件可以推出结论 $q$，但这并不意味着由条件 $p$ 只能推出结论 $q$。一般来说，给定条件 $p$，由 $p$ 可以推出的结论 $q$ 是不唯一的。例如，下列命题都是真命题：

①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；

②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；